loading1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1 正 弦 定 理
正弦定理 [提出问题]
如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2.
问题1：求△ABC的其他边和角． 提示：B＝60°，C＝90°，a＝1，b＝3.
问题2：试计算，，的值，三者有何关系？
sin Asin Bsin C提示：
abcb3c＝2，＝＝2，＝2，三者的值相等． sin Asin Bsin 60°sin Ca问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ 提示：是．如图，∵sin A＝， ∴
＝c. sin Aaca∵sin B＝，∴∵sin C＝1，∴
bcbsin B＝c. ＝
asin Absin B＝. sin Cc问题4：在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝3，试求其他边和角． 提示：如图，△ACD为直角三角形，C＝30°，AC＝3，
则AD＝
33，CD＝， 22
BC＝3·AB＝3，∠BAC＝120°.
问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？
提示：满足．
问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？ 提示：成立． [导入新知] 1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2．解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形．
[化解疑难] 对正弦定理的理解
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
＝＝. sin Asin Bsin Cabc
已知两角及一边解三角形 [例1] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c. [解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由
bsin B＝
asin A得b＝asin B8×sin 60°
＝＝46， sin Asin 45°asin C8×sin 75°
＝＝sin Asin 45°
8×
2＋6
422
由
asin A＝
csin C得c＝＝4(3＋1)．
∴A＝45°，b＝46，c＝4(3＋1)．
[类题通法]
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角；
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．
[活学活用]
在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． 解：∵A＝45°，C＝30°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°. 由由
absin Asin B＝＝
csin C得a＝得b＝csin A10×sin 45°
＝＝102. sin Csin 30°csin B10×sin 105°
＝＝20sin 75°， sin Csin 30°
csin C∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝
2＋6
， 4
2＋6
＝52＋56. 4
∴b＝20×
∴B＝105°，a＝102，b＝52＋56.
已知两边及一边的对角解三角形 [例2] 根据下列条件解三角形． (1)△ABC中，已知b＝3，B＝60°，c＝1； (2)△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2. [解] (1)由正弦定理知 sin C＝
csin B1×sin 60°1
＝＝，故C＝30°或C＝150°. b23
∵A＋B＋C＝180°，
∴C＝150°不符合题意，舍去． ∴A＝90°，a＝b＋c＝2. 故a＝2，A＝90°，C＝30°. (2)由正弦定理得sin C＝故C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝
2
2
csin A6sin 45°3
＝＝. a22
csin B6sin 75°
＝＝3＋1. sin Csin 60°csin B6sin 15°
＝＝3－1. sin Csin 120°
当C＝120°时，B＝15°，b＝
故b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，
C＝120°.
[类题通法]
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
[活学活用]
在△ABC中，若c＝6，C＝解：由
π
，a＝2，求A，B，b. 3
＝，得sin A＝sin Asin Cacasin C2
＝. c2
π3π
∴A＝或A＝. 44又∵c＞a， ∴C＞A， π∴只能取A＝，
4ππ5π
∴B＝π－－＝，
3412
b＝
csin B＝sin C6·sin πsin
3
5π12
＝3＋1.
判断三角形的形状 [例3] 在△ABC中，sin A＝sin B＋sin C，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．
[解] 由正弦定理，得sin A＝∵sin A＝sin B＋sin C， ∴??＝??＋??， ?2R??2R??2R?即a＝b＋c，故A＝90°. ∴C＝90°－B，cos C＝sin
B.
2
2
2
2
2
2
222abc，sin B＝，sin C＝.(R为△ABC外接圆半径) 2R2R2R?a?2?b?2?c?2