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随机变量的期望、方差的计算方法
辛开远，玉华
与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整的描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数学特征在理论与实践上都具有重要的意义，本文介绍一维随机变量的常用数字特征：数学期望、方差。 一、数学期望
1．设离散型随机变量X的分布律为： p?X?xk??pk， xk?1，2，… 如果级数
?xk?1??kpk绝对收敛，则称级数?xkpk的和为随机变量X的数学期望，即
k?1k?? E(x)??xk?1?pk
2．设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分
?????xf(x)dx绝对收敛，则称积分
?????xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，即
E(x)??????xf(x)dx
3．数学期望的性质
（1）E(C)?C，（C为常数）
（2）E(kX)?kE(X)，（k为常数，X是随机变量） （3）E(X?Y)?E(X)?E(Y)，（X，Y是两个随机变量） （4）若X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)?E(X)E(Y) 二、随机变量的函数的数学期望 设Y是X的函数，Y?g(X)。
1．当X是离散型随机变量时，X的分布律为 p?X?xk??pk， k?1，2，… 若级数
?g(xk?1??k)pk绝对收敛，则函数Y的数学期望为
E(Y)?E[g(X)]??g(xk?1??k)pk
2．当X是连续型随机变量时，X的概率密度为f(x)，若积分敛，则函数Y的数学期望为 E(Y)?E[g(X)]? 三、方差
???????g(x)f(x)dx绝对收
???g(x)f(x)dx
设X是一个随机变量，若E[X?E(X)]?2?存在，则称它为X的方差，记作D(X)，
.. ..
. .
即
D(X)?E[X?E(X)]?2?
则称D(X)为X的均方差或者标准差。 1．若X是离散型随机变量，则 D(X)????[xk?1k?E(X)]2pk
2．若X是连续型随机变量，则 D(X)??????[x?E(X)]2f(x)dx
方差D(X)反映了随机变量X取值分散的程度，D(X)越小，X的取值越集中。 3．方差的性质 （1）D(X)≥0；
（2）D(C)?0，（其中C是常数）； （3）D(kX)?kD(X)，其中k是常数，
（4）若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X?Y)?D(X)?D(Y) （5）D(X)?0的充分必要条件是p{X?C}?1，这里C?E(X)； （6）D(X)?E(X)?[E(X)] 常用公式（6）计算方差。 四、矩
1．X为离散型随机变量 （1）若E(X)?k222?xi?1??kipi， k?1，2，…，存在，则称它为X的k阶原点矩。
（2）若E[X?E(X)]?k???[xi?1??i?E(X)]kpi存在，则称它为X的k阶中心矩。
2．X为连续型随机变量 （1）E(X)?k?????xkf(x)dx存在，则称它为X的k阶原点矩。
k （2）若E[X?E(X)]????????[x?E(X)]kf(x)dx存在，则称它为X的k阶中心矩，
其中，f(x)为X的概率密度。
五、关于两个随机变量的函数Z?g(X,Y)的数学期望
1．设(X,Y)是二维离散型随机变量，若其分布律为p{X?xi,Y?yi}?pij，（i,j?1，2，…），
则 E(Z)?E[g(X,Y)]???g(x,yij?1i?1??????j)pij
这里，等式右端的级数绝对收敛。
2．设(X,Y)是二维连续型随机变量，若其概率密度为f(x,y) 则
这里，等式右端的级数或积分绝对收敛。 六、协方差和相关系数
????E(Z)?E[g(X,Y)]?????g(x,y)f(x,y)dxdy
[X?E(X)][Y?E(Y)]?存在，则称它是X和Y的 1．设(X,Y)是二维随机变量，若E?.. ..
. .
协方差，记作Cov(X,Y)，即
Cov(X,Y)?E?[X?E(X)][Y?E(Y)]? （1）当(X,Y)为离散型随机变量时， Cov(X,Y)???????[xi?E(X)][yj?E(Y)]pij
j?1i?1 （2）当(X,Y)是连续随机变量时， Cov(X,Y)??????[x?E(X)][y?E(Y)]f(x,y)dxdy
其中，f(x,y)是(X,Y)的概率密度。 2．若D(X)＞0，D(Y)＞0，则称 ?X,Y)xy?Cov(D(X)D(Y)
为X和Y的相关系数。
七、例题分析
例1．设随机变量X的X -2 0 2 求：E(X)，E(X2)，p 解：
k 0.4 0.3 0.3 E(X)?(?2)?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2
E(X2)?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?2.8
D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2.8?(?0.2)2?2.76 例2．设随机变量X1,X2的概率密度分别为
?2e?2x,x?0?4e?4x,x?0 f??X1(x)? ， f?X2(x)?
?0,x?0??0,x?0求：E(X1?X2)，D(X1)，D(X2)。
解：E(X1?X2)?E(X1)?E(X2) ??????0x?2e?2xdx??0x?4e?4xdx
?12?14?34 D(X221)?E(X1)?[E(X1)] ????20x?2e?2xdx????21???0x?2e?2xdx????4
D(XE(X222)?2)?[E(X2)]
.. .. 分布律为，
D(X)。
. .
2??1?4x?? ??x?4edx??x?4edx?
??0?0?16?122?,x?y?1?? 例3．设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)??,
?0,其它??求：Cov(X,Y)，?xy。
??2?4x 解：u1?E(X)? ???10????????xf(x,y)dxdy
1???rcos?rdrd??0
02? u2?E(Y)? ???????????????yf(x,y)dxdy
???1??????rsin?rdrd??0
?? Cov(X,Y)? ? ?xy???1????(x?u1)(y?u2)f(x,y)dxdy
120r???02?sin?cos?rdrd??0
Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0
例4．设二维随机变量(X,Y)的分布律为
X Y -1 0 1 -1 0 1 p{Y?yj} 1 81 81 83 81 80 1 81 81 83 83 82 83 81 1 82 8p{X?xi}
求：E(X)，E(Y)，Cov(X,Y)，?xy。
323?0??1??0 888323 E(Y)?(?1)??0??1??0
888 解：E(X)?(?1)?.. ..
. .
E(XY)?(?1)?(?1)?1111?0?(?1)?1??0?1?(?1)??0?1?1??0 8888 Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0
?xy?Cov(X,Y)?0
D(X)D(Y)
.. ..