loading3.1.2 用二分法求方程的近似解
教学设计(一)
作者：张兴娟，邯郸市第四中学高级教师．本教学设计获“卡西欧杯”第五届全国高
中青年数学教师优秀课观摩与评比活动一等奖．
学习准备 教师需要明了：
1．新教材为什么增加求方程的近似解？ 2．为什么用“二分法”求方程的近似解？
3．本节内容在教材中的地位和作用． 4．明确学生现有的水平和可能的发展水平．
学生需要复习：方程的根与函数的零点的相关知识．
在此基础上，根据学生“最近发展区”确定本课时教学和学习目标．
教学目标
1．了解二分法是求方程近似解的一种方法． 2．会用二分法求给定精确度的方程的近似解． 3．在具体问题情境中感受逐步逼近的过程．
4．培养学生观察、分析数据的能力．
5．培养学生合作与交流的意识和对新知探求的精神．
教学重点与难点
重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解．
难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解．
教学方法与教学手段
教学方法：“问题驱动”，启发、探究
学法：自主探究、分组合作、辨析讨论、深化理解
教辅工具：计算机、投影仪、计算器
教学过程
1．设置情境，提出问题
问题1：你会求哪些类型方程的解？
写一写你不会求解的方程．
设计意图
让学生感受有大量的方程不能求解，引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲．
问题2：能不能求方程的近似解？
2．自主探究，获得新知
以求方程x＋3x－1＝0的近似解(精确度0.1)为例进行探究．
3
1 / 28
探究1：怎样确定解所在的区间？
(1)图象法(数形结合)：
(2)试值法：
设f(x)=x+3x－1，f(0)=－1＜0，f(1)=3＞0. 复习：(1)方程的根与函数零点的关系； (2)根的存在性定理．
探究2：怎样缩小解所在的区间？ 幸运52中猜商品价格环节，让学生思考： (1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？ (2)如何猜才能最快猜出商品的价格？ 设计意图
在学生“最近发展区”设置问题，搭建平台，拉近数学与现实的距离 ，不仅激发学生学习兴趣，学生也在猜测的过程中逐步体会二分法思想．
问题3：为什么要取中点，好处是什么？ 设计意图
体会二分法优于其他如“三分法”，“四分法”，华罗庚的“优选法”等．
探究3：区间缩小到什么程度满足要求？
设计意图
利用计算器进行了多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性．
问题4：精确度0.1指的是什么？与精确到0.1一样吗？ 通过对以上问题的探究，给出二分法的定义就水到渠成了． 二分法的定义：
对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
用二分法求零点近似值的步骤：
3
2 / 28
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； ③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． (4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 3．例题剖析，巩固新知
【例】借助计算器用二分法求方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.01)． 两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评．同时演示用Excel程序求方程的近似解．
设计意图
(1)演示Excel程序求方程的近似解，界画活泼，充分体现了信息技术与数学课程有机整合．进一步明确为什么用“二分法”求方程的近似解．(2)算法流程比较简洁，便于编写计算机程序，利用计算器和多媒体辅助教学，直观明了．
4．知识迁移，生活应用 (1)猜商品价格；
(2)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为__________．
5．检验成果，巩固提升
(1)下列函数的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是( )
思维升华：在零点的附近连续且f(a)·f(b)＜0.
(2)方程4＋2x－11＝0的解在下列哪个区间内？你能给出一个满足精确度为0.1的近
似解吗？
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
说明：二分法不仅能求方程的近似解，有时也能求方程的精确解．
6．回顾反思
x3 / 28
本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？还有什么疑问？
(1)预设课堂生成问题(有些同学可能会有这样的疑惑，若没有就作为课下拓展留给学
生思考)．
如图所示，区间[a，b]上有多个零点，还能否用二分法求方程的近似解？如果能，该
怎样做？
(2)学生课堂生成新问题(不同的班级可能会有不同的问题，具体问题具体解决)．
课外作业 1．书面作业
(1)习题3.1 A组3,4,5；
(2)求2＋3x＝7的近似解(精确度0.1)．
2．知识链接 阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
板书设计
课题：(投影显示) 1．提出问题： 2．自主探究： 3．抽象概括： 4．巩固练习： 5．归纳总结：
教学反思
1．注重学生参与知识的形成过程；
2．注重培养学生的应用意识； 3．恰当地利用现代信息技术．
教学设计(二)
作者：冯红果，泉州市第七中学教师．本教学设计获福建省教学设计大赛一等奖．
整体设计
教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三章第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过
x4 / 28
程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步
建立起函数与方程的联系．
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分
法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．
学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实
际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．
设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发
现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．
教学目标
1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助
教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；
2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学 生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通
过迂回的方法使问题得到解决的快乐．
教学重点与难点
教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近
的思想．
教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．
教学过程
教学基本流程图
5 / 28