loading西南科技大学西南科技大学2009-20102009学年第二学期《高等数学》期末考试试卷级高等数学竞赛试题答案
1．函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：
A、必要而非充分条件； B、充分而非必要条件；
C、充分必要条件； D、既非充分又非必要条件。
2．设u?arctanyx，则?u?x= A、 ?yx2?y2 B、 xy?xx2?y2 C、x2?y2 D、 x2?y2
3．??曲线弧AB上的曲线积分和BA上的曲线积分有关系：
A、?ABf(x,y)ds???BAf(x,y)ds B、?ABf(x,y)ds??BAf(x,y)ds C、
?ABf(x,y)ds??BAf(x,y)ds?0 D、?ABf(x,y)ds??BAf(?x,?y)ds?0
4．
设
I1???[ln(x?y)]7dxdy,I2???(x?y)7dxdy,I3???sin7(x?y)dxdy其中DDDDx=0,y=0,x?y?12 ,x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是 A、I1＜I2＜I3; B、I3＜I2＜I1; C、I1＜I3＜I2; D、I3＜I1＜I2.
答案：1. D 2. A 3.B 4.C
一、选择 （4小题，共12分）
5．设u?xy?yx，则?u?y= __________ 。 6．函数f(x,y)?e?xsin(x?2y)在点(0，
?4)处沿y轴负向的方向导数是 __________ 。 7．表示椭圆x2y2设Ca2?b2?1，其方向为逆时针方向，则曲线积分?L(x?y2)dx?_________ 。8．设I????(3y2siny3?z2tanx?3)dv，则I=________________。
x?1y?1z?1答案: 5. x?1x 6. 0 7. 0 8. 24 三、计算 （8小题，共64分）
9．求极限limxyexx?0 。y?04?16?xy
解：limxyexx?0 ?limxyex(4?16?xy) =－8 y?04?16?xyx?0y?0?xy 试卷 第 1 页 （共 3 页）
是由
西南科技大学2009-2010学年第二学期《高等数学》期末考试试卷 ?2z10．函数z?z(x,y)由方程sin(xz)?3x?z?1?lny所确定，求2?x解：当x?0,y?1时, z??1
x?0y?1。
(z?x?zx)cos(x?z)?3?zx?0 ；
2?z?xx?0y?1?2
?2z?(z?xzx)sin(xz)?(2zx?xzxx)cos(xz)?zxx?0； 2?xx?0y?1?4
11．求函数z?x3?y2?xy?x的极大值点或极小值点。
2zxxzxy?6x?1?zx?3x?y?1?0?21??11?解：由?，得驻点?,?,??,?? D???12x?1
????zzz?2y?x?0?123324?yxyy?y?21??1?21?1?D?,??7?0,D??,????7?0zxx?,??4?0
4??33??2?33?
?21??11?,??非极值点。函数z无极大值点，在点?,?处取极小值。
?33??24?12．设闭区域D:x2?y2?y,x?0.f(x,y)为D上的连续函数，且
8f(x,y)?1?x2?y2???f(u,v)dudv,
点???D求f(x,y) 解 设
??Df(u,v)dudv?A，在已知等式两边求区域D上的二重积分，有
1?x2?y2dxdy?8A??Df(x,y)dxdy???D???Ddxdy,
从而A???D1?x2?y2dxdy?A.
?20sin?11??2?1?r?rdr??2(1?cos3?)d? ????. 所以 2A??d??0303?23?1??2?4??2?22故 A????. 于是 f(x,y)?1?x?y????.
6?23?3??23?113．计算二重积分??xdxdy，其中D是由抛物线y?x2及直线y=x+4所围成的区域。
2D4x?44132解：原式??xdx?12dy??(x?4x?x)dx?18
?2x?2222?14．计算I=????112yzdv,其中Ω是由x2+z2=1,y=0,y=1所围的位于z≥0部分的立体。
1?x2解．I?2dxdy00??1?02yzdz
122?2?dx?y(1?x)??(1?x2)dx?
3000115．已知L是由x2?y2?1,0?y?x所确定的平面域的边界线，求?Lcosx2?y2ds。
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西南科技大学2009-2010学年第二学期《高等数学》期末考试试卷 解：
?Lcosx?yds??cos1?sin(2x)402222?10cosxdx????0cos1dt??220cos(2x)?2dx
?sin1??2sin1??cos1 416．计算曲线积分?Lxsin(x2?y2)dx?ycos(x2?y2)dy，式中L是正向圆周 x2?y2???x?cost??211．解：?0?t?2?
?y???2?2???????x?sindx?y?cosdy??costd(cost)L02222 ?12???cos2t0?022四、证明题（1小题，共8分）
17．试证曲面xyz?a3的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。
?2
证明：曲面上点?x0,y0,z0?处的切平面法向量
n?y0z0,z0x0,x0y0
切平面方程为
y0z0(x?x0)?z0x0(y?y0)?x0y0(z?z0)?0 即
??xyz???1 3x03y03z0193x0?3y0?3z0?a3为常数 62切平面与三个坐标平面所围四面体的体积
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