loading《余弦定理》导学案2
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一、知识复习
1．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：
A＋B
(1)A＋B＋C＝________，＝________________.
2
(2)sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝__________， tan(A＋B)＝____________.
A＋BA＋B(3)sin ＝____________，cos ＝____________.
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2．正弦定理及其变形
abc(1)＝＝＝________. sin Asin Bsin C
(2)a＝__________，b＝__________，c＝____________.
(3)sin A＝____________，sin B＝____________，sin C＝____________. (4)sin A∶sin B∶sin C＝____________. 3．余弦定理及其推论 (1)a2＝________________. (2)cos A＝________________.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为____________；c2>a2＋b2?C为____________；c2 ＋b2?C为________． 二、典型问题讲练 知识点一 利用正、余弦定理证明三角恒等式 222 tan Aa＋c－b 例1 在△ABC中，求证：＝. tan Bb2＋c2－a2a2＋c2－b2sin A cos Asin Acos Ba2aca2＋c2－b2 方法一 因为左边＝＝＝·＝＝右边， sin Bsin Bcos Abb2＋c2－a2b2＋c2－a2cos B2bc222222a＋c－ba＋c－b ·2ac·a2ac2ac 方法二 右边＝22＝222 b＋c－a2b＋c－a ·2bc·b2bc2bc cos Bsin Asin Acos Btan A＝·＝·＝＝左边， cos Asin Bcos Asin Btan B 总结 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左?右；右?左或左?中?右三种． 变式训练1 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边， cos Bc－bcos A 求证：＝. cos Cb－ccos A a2＋c2－b2 2acb?a2＋c2－b2? 方法一 左边＝222＝222 a＋b－cc?a＋b－c?2ab b2＋c2－a2 c－b·2bcb?a2＋c2－b2? 右边＝＝， b2＋c2－a2c?a2＋b2－c2?b－c·2bc ∴等式成立． 2Rsin C－2Rsin B·cos A 方法二 因为右边＝ 2Rsin B－2Rsin C·cos A sin?A＋B?－sin Bcos Asin Acos B＝＝＝左边． sin?A＋C?－sin Ccos Asin Acos C∴等式成立． 知识点二 利用正、余弦定理判断三角形形状 例2 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状． 方法一 根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. a＋c?222 ∵B＝60°，2b＝a＋c，∴?， ?2?＝a＋c－2accos 60° 整理得(a－c)2＝0，∴a＝c. 又∵2b＝a＋c，∴2b＝2a，即b＝a.∴△ABC是正三角形． 方法二 根据正弦定理， 2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A， ∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)， 整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°. ∴△ABC是正三角形． 总结 题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断． 变式训练2 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状． 解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc， b2＋c2－a2bc1222 即a＝b＋c－bc，∴cos A＝＝＝， 2bc2bc2 π ∴A＝.又sin A＝2sin Bcos C. 3 a2＋b2－c2a2＋b2－c2 ∴a＝2b·＝， 2aba ∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形． 知识点三 利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题 3→→ 例3 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B＝，且AB·BC＝－21. 5 (1)求△ABC的面积； (2)若a＝7，求角C. →→→→ 解 (1)∵AB·BC＝－21， ∴BA·BC＝21. →→→→∴BA·BC＝|BA|·|BC|·cos B＝accos B＝21. 34 ∴ac＝35，∵cos B＝，∴sin B＝. 55 114 ∴S△ABC＝acsin B＝×35×＝14. 225 (2)ac＝35，a＝7，∴c＝5. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝32， ∴b＝42. cbc542 由正弦定理：＝. ∴sin C＝sin B＝×＝. sin Csin Bb4252 ∵c 总结 这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系． 3 变练3 △ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos B＝. 4 11(1)求＋的值； tan Atan C→→3(2)设BA·BC＝，求a＋c的值． 2 3?237 解 (1)由cos B＝，得sin B＝ 1－?＝?4?4. 4 由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C. 11cos Acos C于是＋＝＋ tan Atan Csin Asin C sin Ccos A＋cos Csin Asin?A＋C?sin B147＝＝＝2＝＝. 2sin Asin CsinBsinBsin B7 3→→3 (2)由BA·BC＝得ca·cos B＝， 223 由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2. 4 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3. 三、小结 1．解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表： 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角(如a，B，C) 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解． 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解． 由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C. 在有解时只有一解． 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解. 两边和夹角(如a，b，C) 余弦定理正弦定理 三边(a，b，c) 余弦定理 两边和其中一边的对角(如a，b，A) 正弦定理余弦定理 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 作业设计: 一、选择题 1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为 ( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 2 4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°， c＝2a，则( ) A．a>b B．a