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2017 全国研究生入学考试考研数学三解析
本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．
指定位置上. （1） 若函数 f (x)
?1? cos x? ?x ? 0, 在
） ?? ax ,
x ? 0 ，处连续，则（ ?? b, x ? 0,
（A） ab ?
1
（B） ab ?? 1
2
2
（C） ab ? 0
（D） ab ? 2
【答案】（A）
【解析】由 f (x) 在 x ? 0 连续可得lim f (x) ??x?0
f (0)
1 x
?lim 1 ? cos x ? lim 2 ??1 ， f (0) ? b ? ab ??1 x?0 ax
x?0 ax 2a 2 （2） 二元函数 z ? xy(3 ? x ? y) 的极值点是（ ）
（A） (0,0) （B） (0, 3)
（C） (3, 0)
（D） (1,1)
【答案】
【解析】 z?x
? y(3 ? x ? y) ? xy ? y(3 ? 2x ? y) z?y ? x(3
? x ? y) ? xy ? x(3 ? x ? 2y)
z?x?x ? ?2 y ， z?x?y ? 3 ? 2x ? 2 y ， z?y
?y ? ?2x ? zx? ? 0
验证可得（ A ）、（ B ）、（ C ）、（ D ）四个选项均满足??z ?y
? 0
其中（ D ）选项对应
A ? z?x?x (1,1) ? ?2 ， B ? z?x?y (1,1) ? ?1， C ? z?y
?y (1,1) ? ?2
满足 AC ? B2 ? 3 ? 0 ，所以该点为极值点.。
（3） 设函数 f (x) 可导，且 f (x) f ?(x) ? 0，则（ ）
（A）f (1) ? f (?1)
（B）f (1) ? f (?1) （C） f (1) ??f (?1)
1
D） f (1) ??f (?1)
（
【答案】（C）
【解析】令 F(x) ? f 2 (x) ，则有 F?(x) ? 2 f (x) f ?(x) ，故 F (x) 单调递增，则 F(1) ? F(?1) ，即
[ f (1)]2 ?[ f (?1)]2 ，即 f (1) ??f (?1) ，故选 C。
1 ? 1 ???
（4） 设级数??sin ? k ln ?1? ?? 收敛，则k ?（ ）
n ? n ???n?2 ?
（A）1
【答案】（C）
（B） 2
（C） ?1
（D） ?2
? ?
1 1 1 1 1 1 k 1
? o( ) ? k ? ? o( ) 【解析】由sin ? k ln(1 ? ) ? ? 332
n n n 6 n n n 2n n2
1
1
? (1? k) ??k ? 1 ? o( 1 ) ，
n2 n 2n2 6n3
1
又?[sin ? k ln(1? )] 收敛，故有k ?1 ? 0 ，即k ? ?1，故选 C。
n n n?2
（5） 设? 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
?
1
（A） E ???T 不可逆
（B） E ???T 不可逆 （D） E ? 2??T 不可逆
（C） E ? 2??T 不可逆
【解析】选项 A :由(E ???T )? ? ? ?? ? 0 可知，(E ???T ) X ? 0 有非零解，故 E ???T ? 0 , 即 E ???T 不可逆。选项 B :由r(??T ) ? 1知，?? T 的特征值为0, 0,
0,1，
(n?1)个
故 E+??T 的特征值为1,1, 1, 2 ，因此 E+??T ? 2 ? 0 ，可逆。选项C :同理可得 E+2??T 的特
(n?1)个
征值为1,1, 1, 3 ，故 E+2 ??T 3? 0? ，可逆。选项 D :同理可得 E ? 2??T 的特征值为1,1, 1, ?1，
(n?1)个
(n?1)个
故 E ? 2??T ? ?1 ? 0 ，可逆。
1 0 0???2 0 0???2 1 0???
?? ?? ?（6）设矩阵 A ? 0 2 1， B ? 0 2 0， C ? 0 2 0? ，则 ? ??? ??? ??????0 0 1????0 0 1????0 0 2???
（A） A 与C 相似， B 与C 相似
（C） A 与C 不相似， B 与C 相似
（B） A 与C 相似， B 与C 不相似
（D） A 与C 不相似， B 与C 不相似 2
【答案】（B）
【解析】由（?E ? A）=0 可知 A 的特征值为 2,2,1。
可相似对角化，且A 3 ? r(2E ? A) ? 1。? A ??? 1 0 0
?? ?00 2 ??????? 0 2 0????
由 ?E ? B ? 0 可知 B 的特征值为 2,2,1。
3 ? r(2E ? B ) ??2 。?B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，
? A
C 。且 B 不相似于 C。
（7） 设 A, B,C 为三个随机事件，且 A 与C 相互独立， B 与C 相互独立，则 A ? B 与C 相互独立
的充要条件是
（A） A 与 B 相互独立 （C） AB 与C 相互独立 【答案】（C）
【解析】由 A ? B 与C ，独立得
（B） A 与 B 互不相容 （D） AB 与C 互不相容
P(( A ? B)C) ? P( A ? B)P(C)
P( AC ? BC) ? (P( A) ? P(B) ? P( AB))P(C)
P( AC) ? P(BC) ? P( ABC) ? (P( A) ? P(B) ? P( AB))P(C)
又由 A 与C ， B 与C 独立得 P(ABC) ? P(A)P(B)P(C) 。由此验证（A）（B）（C）（D）四项，
又（C）选项可得 P(ABC) ? P(A)P(B)P(C) 。
X，则下列结论中 Xn (n ? 2) 为来自总体 N (?,1) 的简单随机样本，记 X ? ??n i?1 i
（8） 设 X1, X2 1 n
不正确的是
2
? 2 分布 （A） ( Xi ? ?) 服从
n
?
i?1 n i?1
（B） 2( X n ? X 1 )2 服从 ? 2 分布
2
? 2 分布 （C） ( Xi ? X ) 服从
?
（D） n( X ? ?)2 服从 ? 2 分布
【答案】（B）
【解析】（A） Xi ? ??N(0,1) 故
22
? ?) ? (n) ； ( X ?i
i?1
n ?
3
（B） Xn ? X1
X? XN (0, 2) ? n 1 2
N (0,1)
? x ? x ? ? ? n 1 ??? 2 ??
即 n
2
? 2 (1)
(x ? x )2
1
2
2
? 2 (1) 。
? (n ?1) 。
? 2 (1) 。
2
n
2 2 2 1 n
（C） 由 S ? ( Xi ? X ) , (n ?1)S ? ?( Xi ? X )
n ?1 ?i?1 i?1
（D） ( X ? ?) N 0,
? 1 ?
，则 n( X ? ?) N(0,1) ，所以n(X ? ?)2 ? n ??? ??
二、填空题：9?14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）
???(sin x ???
??3
? 2 ? x2 )dx ???。
?
?
3
? 【答案】 。
2
【解析】由对称区间上积分的性质可知，
??(sin x ??3
?
??? ? x )dx ??2 2?????? ? x 2 2dx ? ??3 。
2
（10） 差分方程 yt ?1 ? 2yt
? 2t 的通解为 y t ???。
1 tt
? C2 ? t ? 2 ,C ? R 。 y【答案】 t
2
【解析】由 yt ?1 ? 2yt ? 2t 可得齐次特征方程为 r ? 2 ? 0 ，得 r ? 2 ，故其齐次方程的通解为
1 1
y ? C ? 2t ，设 y* ? at2t ，代入得a ? ，故通解为 y ? C2t ? t ? 2t ,C ? R 。
t 2 2
（11） 设生产某产品的平均成本C
?Q? ? 1? e?Q ，其中Q 为产量，则边际成本为
。
【答案】C?(Q) ? 1? e?Q (1? Q) 。
【解析】 C(Q) ? 1? e?Q 得C(Q) ? Q(1? e?Q ) ， Q
4
则边际成本为： C?(Q) ? 1? e?Q (1? Q) 。
（12） 设函数 f (x, y) 具有一阶连续偏导数，且df (x, y) ? yeydx ? x(1? y)eydy ， f (0, 0) ? 0 ，则
f (x, y) ???。
【答案】 xyey 。
? ? x ?1 ? y?ey f y
，
f ? x, y? ? yeydx ? xyey ? c( y)
y?
【 解 析 】 由 题 可 知 ， f x ? ye ，
??
，
y
f ? ? xey ? xyey ? c?( y) ? xey ? xyey c?( )y 0? c( y) ? c f ?0, 0? ? 0 yx?y, e? ? y f x，故c ? 0 ，，即 ，即 ，即
。
? 1 0 1 ???(13)设矩阵 A= 1 1 2 ? ，? ,??,? 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 ?? , ???, ?? 的
? ??1 2 3 1 2 3
? ? ? 0 1 1 ???
秩为 【答案】2
【解析】 由 于
。
?1,??,?2
线 性 无 关 ， 可 知 矩 阵 (?1,?2,?3)
可 逆 ， 故
r(A?1, A?2, A?3) ? r(A(?1,?2,?3)) ? r( A) ，不难计算的r( A) ? 2 ，故r( A?1, A?2, A?3) ? 2 。
(14)设随机变量 X 的概率分布为 P{x ? ?2} ? ， P{x ? 1} ? a ， P{x ? 3} ? b ，若 EX ? 0 ，则
1
2
DX ???。
【答案】 【解析】
9
2
1
1
由分布律的归一性可知 ? a ? b ? 1 ， 又由于 EX ? 0 ， 可知 ?2? ?1? a ? 3b ? 0 ，解得
2 2
1 1 1 1 1 9 9 a ? , b ? ，从而 EX 2 ? (?2)2 ? ?12 ? ? 32 ? ? , DX ? EX 2 ? (EX)2 ? 。
4 4 2 4 4 2 2
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
?(15)(本题满分 10 分)求 lim ?
x?0??
x x ? tetdt
。
0
x3
x ? tet dt 作变量代换u ? x ? t ，得
【解析】先对变上限积分
?0
x
5