loading专题三 圆的综合题
类型一 与切线有关
(2019·泉州模拟)已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°. (1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
【分析】(1)先求出∠ABC＝30°，进而求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB＝30°，结论即可得证；
(2)先求出∠AOC＝60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论． 【自主解答】
1．(2019·龙岩武平一模)如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F. (1)试说明DF是⊙O的切线； (2)若AC＝3AE，求tan C.
2．(2019·莆田模拟)如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点，连接QP并延长交CB的延长线于点D. (1)判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由； 1
(2)若AP＝4，tan A＝. 2①求⊙O的半径的长； ②求PD的长．
3．(2019·福建大联考)已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP. (1)如图1，若∠PCB＝∠A. ①求证：直线PC是⊙O的切线； ②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；
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(2)如图2，若点M是AB的中点，CM交AB于点N，MN·MC＝9，求BM的值．
4．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD.设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC. (1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．
类型二 与圆的基本性质有关
(2018·福建A卷)已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E.
(1)延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1.求证：PC＝PB； (2)过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2.若AB＝3，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．
【分析】(1)先判断出BC∥DF，再利用同位角相等判断出∠F＝∠PBC，即可得出结论；
(2)先判断出四边形DHBC是平行四边形，得出BC＝DH＝1，再用锐角三角函数求出∠ACB＝60°，进而判断出DH＝OD，求出∠OAD＝20°，即可得出结论． 【自主解答】
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.