loading反比例函数知识点归纳和典型例题
知识点归纳
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，
这一限制
它可以迅速地求
在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数条件；
出反比例函数解 2．（
）也可以写成xy=k的形式，用
与x轴、y轴无交
析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；点．
3．反比例函数的自变量（二）反比例函数的图象
，故函数图象
在用描点法画反比例函数原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于
1．函数解析式： 2．自变量的取值范围： 3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
（）
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．
越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当
时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
则（
，
）在双曲线的另一支上．
对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，，
）在双曲线的另一支上．
图象关于直线则（
，
）和（
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA
的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则
1
有三角形PQC的面积为．
图1 图2 5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线 当
当
与双曲线的关系：
时，两图象没有交点；
时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．
例题分析
1．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A．y=3x B． C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
2．图象和性质（1）已知函数
是反比例函数，
2
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数 象位于第________象限．的图（3）若反比例函数经过第_____象限．经过点（，2），则一次函数的图象一定不（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上， 则直线不经过的象限是（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点， 则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）． A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）． A． B． C． D．7、已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?yxO（B）xk2x的图象大致是（ ）yO（A）yO（C）xyO（D）x3．函数的增减性（1）在反比例函数的值为（ ）．的图象上有两点，，且，则3 A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数（2）在函数值、、＜（a为常数）的图象上有三个点的大小关系是（ ）．＜ B．＜＜ C．＜＜，，，则函数 A． D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④ y随x的增大而减小的函数有（ ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个．（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．5、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（ ）．A．x＜－1 B．x＞2 C．－1＜x＜0，或x＞2 D．x＜－1，或0＜x＜2y321－3－2－1O－1A123xB－2－3第4题 4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）． A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定（6）若正比例函数y=2x与反比例函数它们的另一个交点为________．的图象有一个交点为 （2，m），则m=_____，k=________，（7）已知反比例函数的值．的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求4（8）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题： ①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；
③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
5．面积计算
（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点
、
所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为
、 A．C．
，则（ ）．
B． D．
5