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24．(8分)如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上的一点，点C是AD的中点，弦CM垂直AB于点F，连接AD，交CF于点P，连接BC，∠DAB＝30°.
(1)求∠ABC的度数；
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(2)若CM＝83，求AC的长度．(结果保留π)
解：(1)连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，∴∠ABD＝
︵1
90°－30°＝60°.∵C是AD的中点，∴∠ABC＝∠DBC＝∠ABD＝30° (2)连接OC，则∠
2123
AOC＝2∠ABC＝60°，∵CM⊥直径AB于点F，∴CF＝CM＝43，∴在Rt△COF中，CO＝
23︵2360π×88π
CF＝×43＝8，∴AC的长度为＝
31803
25．(10分)(2016·咸宁)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD＝23，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
解：(1)BC与⊙O相切．理由：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC.∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切 (2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝
22222
x＋2，根据勾股定理，得OB＝OD＋BD，即(x＋2)＝x＋12，解得x＝2，即OD＝OF＝2，1
∴在Rt△ODB中，OD＝OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴S
2
扇形DOF
60π×42π＝＝，则3603
12π2π
阴影部分的面积为S△ODB－S扇形DOF＝×2×23－＝23－.故阴影部分的面积为23－
2332π
3
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26．(12分)如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及其延长线分别交AC，BC于点G，F.
(1)求证：DF垂直平分AC； (2)求证：FC＝CE；
(3)若弦AD＝5 cm，AC＝8 cm，求⊙O的半径．
解： (1)∵DF⊥DE，AC∥DE，∴DF⊥AC，∴DF垂直平分AC (2)由(1)知AG＝GC，又∵AD∥BC，∴∠DAG＝∠FCG，又∠AGD＝∠CGF，∴△AGD≌△CGF，∴AD＝FC.∵AD∥BC且AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD＝CE，∴FC＝CE (3)连接AO，∵AG＝GC，AC＝8 cm，∴AG＝4 cm，GD＝25－16＝3 (cm)．设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r－3，由
25222222
勾股定理得AO＝OG＋AG，∴r＝(r－3)＋4，∴r＝ cm
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