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且EG?平面EFG，
FG?平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 点评 证明平行关系的方法 (1)证明线线平行的常用方法：
①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； ②利用平行四边形进行转换； ③利用三角形中位线定理证明；
④利用线面平行、面面平行的性质定理证明. (2)证明线面平行的常用方法：
①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行； ②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行. (3)证明面面平行的方法：
证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.
变式训练1 (2015·天津改编)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点.
求证：(1)EF∥平面A1B1BA； (2)平面AEA1⊥平面BCB1.
证明 (1)如图，连接A1B，在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，
所以EF∥BA1.又因为EF?平面A1B1BA，BA1?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.
(2)因为AB＝AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又因为AE?平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1. 题型二 空间中的垂直问题
例2 如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点. 求证：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE.
证明 (1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.
1∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE.
2∵AB⊥平面ACD， DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 1
又AB＝DE，∴GF＝AB.
2∴四边形GFAB为平行四边形， ∴AF∥BG.
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点， ∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. 点评 (1)证明线面垂直的常用方法：
①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；
②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；
③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)证明面面垂直的方法：
证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线来解决.
变式训练2 (2016·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求证：DC⊥平面PAC； (2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.
(1)证明 ∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC?平面PAC，AC?平面PAC，∴DC⊥平面PAC. (2)证明 ∵AB∥CD，CD⊥平面PAC， ∴AB⊥平面PAC，又∵AB?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAC.
(3)解 棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
证明如下：
取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA?平面CEF，EF?平面CEF，∴PA∥平面CEF. 题型三 空间中的平行、垂直综合问题
例3 (2015·山东)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证： 平面BCD⊥平面EGH.
证明 (1)方法一 如图，连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH.
在三棱台DEF－ABC中， AB＝2DE，G为AC的中点， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形DFCG为平行四边形. 则M为CD的中点， 又H为BC的中点，
所以HM∥BD，又HM?平面FGH，BD?平面FGH， 所以BD∥平面FGH.
方法二 在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点， 可得BH∥EF，BH＝EF， 所以四边形HBEF为平行四边形，
可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点， H为BC的中点，所以GH∥AB. 又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B， 所以平面FGH∥平面ABED. 又因为BD?平面ABED， 所以BD∥平面FGH. (2)连接HE，
因为G，H分别为AC，BC的中点， 所以GH∥AB.
由AB⊥BC，得GH⊥BC. 又H为BC的中点， 所以EF∥HC，EF＝HC，