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⑶裂项与拆分
裂和：目的：两两相消；凑整
a＋baba＋baabb
= + ; = + = + a×b a×b a×b a×b a×b a×b b a
裂差：目的：两两相消
（1） 分子全部相同，最简单形式为1，不是1提取公因数
（2） 分母均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数首尾相接； （3） 分母上的几个因数间的差是一个定值；
分数拆分：
111 = + 10 ( ) ( )
1(m+n)n = =+ , m, n是10的约数就可以；选取m, n的比不同就可以分成不同的两个 10 10(m+n) 10(m+n)
2
2
2
2
分数相加；这里有（1,2）（2,5）（1,10）（1,5）（1,1）
阶乘：考试考到阶乘通常是除法和逆运算乘法，乘法往上5！，想6, 5！×6 = 6！ 除法考虑自己，想5，5！÷5 = 4!
⑷提取公因数
公因数不会明白地告诉，需要用找出来
如何找？用拆分，也就是乘不变的方法，目的是找公因数 * 迎春杯特点：
一定会考一题，一般是凑整求和、提取共因数；考提取公因数的可能比较大，但不会那么明显地给出公因数，需要拆分找出来；实在不会，低年级可以硬算。
⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序
① 运算定律的综合运用：交换率、结合率 ② 连减的性质 ③ 连除的性质
④ 同级运算移项的性质：
搬家带符号，加减括号，前面是－、÷是一定要注意 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数
形如：a1?b?a2?b?......?an?b?(a1?a2?......?an)?b
(7)换元 (8)通项归纳
找规律，从简单情况入手 目的：利用通项求解 解题步骤：
找最后一项，然后套公式（通常别算出来，当找不出规律时，再考虑算出来） a. 1或2步上10阶楼梯，有多上种上法； b. 几个圆或线或矩形吧平面分多少份
方法：看多一个图形，多几个点，看多一个点把新的图形分成几个部分，就多几个部分
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线和圆把平面分成多少份，第一条线有问题，其他恢复正常；
3、估算
求某式的整数部分：扩缩法 4、比较大小 基本方法
① 通分
a. 通分母 b. 通分子
② 跟“中介”比，比如和1比 ③ 利用倒数性质
若
mnmmnn111??，则c>b>a.。形如：1?2?3，则1?2?3。
n1n2n3m1m2m3abc④ 浓度法
aa+ma
是真分数，必有 > ; bb+mb
aa+ma是假分数，且a≠b，必有 < ; bb+mb
⑤ 做差：差与0比 ⑥ 做商：商与1比
做商还是做差，看题目条件
放缩法 求整数部分
结构调整：以2的次方为标记点，划几个，董老师5年级下班9讲 > 向左划括号 < 向右划括号
两数：差小积大
5、定义新运算
? 要理解新符号的运算规则
（普通题：告诉你规则，直接代入就好；牛题：新运算需要推导出来，方法：赵规律，通项归纳） ? 理解运算顺序
没有特殊说明的话，（1）从左往右算，有括号先括号；（2）一个式子包含多个新符号，视这些新符号优先级相同 ? 运算率别乱用； 6、特殊数列求和
运用相关公式：
n?n?1? 2n?n?1??2n?1?222②1?2???n?
6①1?2?3?n?③an?n?n?1??n?n
2 6
④1?2???n??1?2??n?3332n2?n?1??
42⑤abcabc?abc?1001?abc?7?11?13 ⑥a?b??a?b??a?b?
22⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n2 ○8 (a+b)
2
=a2+2ab+b2
7、大数计算：
找规律，可以先用小数算算找规律；凑9，99， 999 …… 9、重复数字：324324324324=324×1001001001 10、头同尾和十 （1）概念：两位数×两位数中，十位数字相同，个位数字相加为十
结果：积的后两位=尾×尾；积从百位起前面的数=头×（头+1） 例如：73×77=5621 （2）尾同头合十
概念：两位数×两位数中，个位数字相同，十位数字相加为十 结果：积的后两位=尾×尾；积从百位起前面的数=头×头+尾 例如：78×38=2964
2
11、45=2025
12、7×11×13 = 1001 37×3 = 111 13、7的秘密：
1÷7 = 0.142857 142857×1
142857×2 = 285714 14、位值原理：
一个数可以拆成每一位上的数值×位值
二、数论
知识点小而多，需要记忆的东西多。包括：整除问题；整除特征(小升初常考内容)；余数问题；奇偶问题；质数合数；约数倍数还有那个平方数的特征。
1、奇偶性问题
奇?奇=偶 奇×奇=奇 奇?偶=奇 奇×偶=偶 偶?偶=偶 偶×偶=偶 两个数的和差奇偶性相同
连续乘法、除法，见偶得偶；
连续加法、减法，只数奇数的个数，奇数的个数是奇数，结果是奇；奇数的个数是偶数，结果是偶
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2、位值原则
形如：abc=100a+10b+c
3、数的整除特征：
除法的封闭性
要不是下面这些特殊数，变成这些特殊数，可以变大、也可以变大。 末位：（2,5）（22, 55）（23, 53）； 数段和：（3,9）(99,33,11) (37, 111,333,999) 数段差：（7,11,13） 整除数 2 3 5 9 11 4和25 8和125 99 各数位上数字的和是3的倍数 末尾是0或5 各数位上数字的和是9的倍数 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 末两位数是4（或25）的倍数 末三位数是8（或125）的倍数 从后往前，两位一段，各段之和是99的倍数，此数是99的倍数 特 征 末尾是0、2、4、6、8；也说明能被2整除的数，其个位数字只能是偶数； 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数，偶数位与奇数位的差 4、整除性质
① 如果c|a、c|b，那么c|(a?b)。 ② 如果bc|a，那么b|a，c|a。
③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④ 如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 ⑥ 6672□□这样的用试除法；
⑦ (abc)k ÷（K-1），若（a+b+c）10 = (K-1)10×(n)10，则可整除，反之，余 =（余）10；
5、带余除法=
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n= p1
a1———
× p2
a2×...×pk
ak
7、约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n= p1
a1× p2
a2×...×pk
ak那么：
n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
证明：关键是乘法原理 n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1
2a1）（1+P2+P2+…p2
2a2）…（1+Pk+Pk+…pk
2ak）
约数积：约数是成对出现的
3
例：12的约数积，1X12=12，3X4=12， 2X6=12 12
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