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第一课时 数 列
教学目标：
理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力. 教学重点：
1.理解数列概念；
2.用通项公式写出数列的任意一项. 教学难点：
根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式. 教学过程： Ⅰ.复习回顾
在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.
如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y＝f(x)，其中x?A，y?B. Ⅱ.讲授新课
在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.
1，2，3，4，?，50 ①
2363
1，2，2，2，?，2 ② 15，5，16，16，28 ③ 0，10，20，30，?，1000 ④
23
1，0.84，0.84，0.84，? ⑤ 请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？ 它们均是一列数，它们是有一定次序的. 引出数列及有关定义. 1.定义
（1）数列：按照一定次序排成的一列数.
看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照一定的次序排列，它有何实际意义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？
如数列①，它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数.
数列②，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数. 数列③，好像是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.
数列④，可看作是在1 km长的路段上，从起点开始，每隔10 m种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.
数列⑤，我们在化学课上学过一种放射性物质，它不断地变化为其他物质，每经过1年，它就只剩留原来的84%，若设这种物质最初的质量为1，则这种物质各年开始时的剩留量排成
一列数，则为：1，0.84，0.84，0.84，?.
诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？
现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识. 比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，?，第n项，?.
那么，数列一般可表示为a1，a2，a3，?，an，?.其中数列的第n项用an来表示. 数列还可简记作{an}.
数列{an}的第n项an与项数n有一定的关系吗？
数列①中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：
序号 1 2 3 ? 50 ↓ ↓ ↓ ? ↓ 项 1 2 3 ? 50
即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：an=n(1≤n≤50)来表示.且n?N*)
数列②中，每一项的序号与这一项的对应关系为：
序号 1 2 3 ? 64 ↓ ↓ ↓ ? ↓
2 63
项 1 2 2? 2 ↓ ↓ ↓ ? ↓
1 263
2° 22 ? 2 ↓ ↓ ↓ ? ↓
1－1 2－13－164－1
22 2 ? 2 n－1
即：an＝2(n为正整数，且1≤n≤64) 数列④中： 序号 1 2 3 ? 101 ↓ ↓ ↓ ? ↓ 项 0 10 20 ? 1000 ↓ ↓ ↓ ? ↓ 10×0 10×1 10×2 ? 10×100 ↓ ↓ ↓ ? ↓
10×(101－
10×(1－1) 10×(2－1) 10×(3－1) ?
1)
∴an＝10(n－1)(n?N*且1≤n≤101). 数列⑤中： 序号 1 2 3 4 ? ↓ ↓ ↓ ↓ ?
2 3
项 1 0.84 0.840.84? ↓ ↓ ↓ ↓ ?
0 1 2 3
0.840.840.840.84?
23
∴an＝0.84(n≥1且n?N*)
数列{an}的第n项an与n之间的关系都可以用这样的式子来表示吗？ 不是，如数列③的项与序号的关系就不可用这样的式子来表示.
综上所述，如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
即：只要依次用1，2，3，?代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项. 下面，我们来练习找通项公式.
111
1， ， ， ，?. 234
① ② ③ ④ ⑤
n－1
1，0.1，0.01，0.001，?. －1，1，－1，1，?. 2，2，2，2，2，2. 1，3，5，7，9，?.
1
得出数列①的通项公式为：an＝ 且n?N*.
n数列②可用通项公式：an＝
1
n－1 ，(n?N*，n≥1)来表示. 10
?－1 （n为奇数）n数列③的通项公式为：an＝(－1)(n?N*)或an＝?
?1 （n为偶数）
数列④的通项公式为：an＝2(n?N*且1≤n≤6) 数列⑤的通项公式为：an＝2n－1(n?N*). 数列与数集的区别和联系.
在数列的定义中，要强调数列中的数是按一定次序排列的；而数集中的元素没有次序. 例如，数列4，5，6，7，8，9与数列9，8，7，6，5，4是不同的两个数列.如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.而数集中的元素若相同，则为同一集合，与元素的次序无关.
数列中的数是可以重复出现的，而数集中的数是不允许重复出现的.如上数列③与④，均有重复出现的数.
数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体. {an}与an又有何区别和联系？
{an}表示数列；an表示数列的项.具体地说，{an}表示数列a1，a2，a3，a4，?，an，?，而an只表示这个数列的第n项.其中n表示项的位置序号，如：a1，a2，a3，an分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n项.
数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？
从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N*(或它们的有限子集{1，2，3，?，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象.看来，数列也可以根据其通项公式画出其对应图象，下面请同学们练习画数列①、⑤的图象.
根据所求通项公式画出数列⑤、①的图象，并总结其特点：
特点：它们都是一群弧立的点.
（5）有穷数列：项数有限的数列.如数列④只有6项，是有穷数列. （6）无穷数列：项数无限的数列.如数列①、②、③、⑤都是无穷数列. 2.例题讲解
［例1］根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项： (1)an＝
； (2)an＝(－1)·n n＋1
nn分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.
解：(1)在an＝
中依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列{ }的前5项分别为：n＋1n＋1
nn1234512345
， ， ， ， .即：a1＝ ；a2＝ ；a3＝ ；a4＝ ；a5＝ . 2345623456
(2)在an＝(－1)·n中依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列{－1·n}的前5项分别为：－1，2，－3，4，－5.
即：a1＝－1；a2＝2；a3＝－3；a4＝4；a5＝－5.
［例2］写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
2－13－14－15－1
(1)1，3，5，7； (2) ， ， ，
23451111
(3)－ ， ，－ ， . 1×22×33×44×5
分析：认真观察各数列所给出项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通
项公式.
解：(1) 序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项： 1＝2×1－1 3＝2×2－1 5＝2×3－1 7＝2×4－1
规律：这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是an＝2n－1；
2
2
2
2
nn