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动点专题
一、应用勾股定理建立函数解析式
例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH?x,GP?y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围). (3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
二、应用比例式建立函数解析式
例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；
(2)如果∠BAC的度数为?,∠DAE的度数为?,当?,?满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由.
.
A B P N O y x G H
A
M 图1
D B 图2
C
E .
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
例4（2004年·上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.
(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时, △AOC的面积.
一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．
1．（09年徐汇区）如图，?ABC中，AB?AC?10，BC?12，点D在边BC上，且BD?4，
B O
H 图8
C
A .
.
以点D为顶点作?EDF??B，分别交边AB于点E，交射线CA于点F． （1）当AE?6时，求AF的长；
（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，
求BE的长； （3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．
（二）线动问题
2,在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长； (2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝
AFEBDC1AC，设AD的长为x，五边4A O E l
D A′
形BCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
②探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x?3长为半径的圆与4B C
直线l相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
.
.
（三）面动问题
3.如图，在?ABC中，AB?AC?5,BC?6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG. （1）试求?ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD?x，?ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（4）当?BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长．
解决动态几何问题的常见方法有:
ADBGEFC一、 特殊探路，一般推证
例2：（2004年广州市中考题第11题）如图，⊙O1和⊙O2内切于A，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P为⊙O1上的任一点（与点A
.
PCBO1O2A.
BP不重合），直线PA交⊙O2于点C，PB切⊙O2于点B，则PC的值为 63（A）2 （B）3 （C）2 （D）2
二、 动手实践，操作确认
例4（2003年广州市中考试题）在⊙O中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与A、C不重合），则
（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB
例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD，延长CA和CD与大圆分别交于点B、E，则下列结论中正确的是（ * ） （A）DE?AB （B）DE?AB
（C）DE?AB（D）DE,AB的大小不确定
DE
三、 建立联系，计算说明
例6：如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 .
COAB
ADM
BNC以圆为载体的动点问题 .
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例1. 在Rt?ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03年广州市中考）
例2. 如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若
DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？
.
腰
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练习.
1 已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。 （1）写出y与x之间的函数关系式 ； （2）若点E与点A重合，则x的值为 ；
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。
2
如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ。设AP=x （1）当PQ∥AD时，求x的值；
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；
.
.
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。
3、在平面直角坐标系XOY中，一次函数的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、
B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位． （1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值． 考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质。 专题：几何动点问题；分类讨论。
分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；
（2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴
.
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的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案．
例题 4 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
1y??x2?x4⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）
⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
OyABxOyABx图1 例1题图
图2 .
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3)E?练习5、已知抛物线y?ax?bx?c经过P(3，，2?53?0?0)．
?2，?及原点O(0，??2253x?x） 33（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为y??．．．
（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形
△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系？为什么？
.
yCOPBQAEx.
练习6、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠CE?55，且tan?EDA?（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；
C （2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
E （3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的
O 三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
.
D 练习2图 y B 3。 4A x .
练习7、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A，B两
2点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(?3，?12)． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为y??x?2x?3） ．．．
（2）若直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若
2，，0)B(3，0),C(0，3) 不存在，请说明理由；A(?1（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角?PCO与
?ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．
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A x C l B y .
练习8 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线y?x?1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG?x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
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2O
y P A o C B x 练习4图
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练习9、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，?ACB?90，点A，C的坐标分
o别为A(?3，0)，C(1，0)，tan?BAC?3． 4y B 0)，C(1，0)，（1）求过点A，B的直线的函数表达式；点A(?3，393)，y?x? B(1，44（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接
.
A
x
O C .
PQ，设AP?DQ?m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；
如不存在，请说明理由．
例10 (2008福建福州)如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
.
.
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 分析:由t＝2求出BP与BQ的长度,从而可得△BPQ的形状; 作QE⊥BP于点E,将PB,QE用t表示,由S?BPQ=
1×BP×QE可得 2
S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE, 再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而t值可求.
例11(2008浙江温州)如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边
oAB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交
.
.
（1）求点D到BC的距离DHAC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； 满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
分析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得
B （3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有
A D P H Q R E C y关于x的函数关系式;由腰相等列方程可得x的值;注意需分类讨论.
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中考动点专题答案
一、应用勾股定理建立函数解析式
1.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=
221NH=?OP=2. 332OH?OP2?PH2?36?x2, ∴MH(2)在Rt△POH中, 在Rt△MPH中,
?11OH?36?x222
.
11MP?PH2?MH2?x2?9?x2?36?3x242∴
.
y=GP=
21MP=36?3x233 (0 (3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况: 136?3x2?x,解得x?6. 经检验, x?6是原方程的根,且符合题意. 31②GP=GH时, 36?3x2?2,解得x?0. 经检验, x?0是原方程的根,但不符合题意. 3③PH=GH时,x?2. ①GP=PH时, 综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为二、应用比例式建立函数解析式 2.解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴ 6或2. A ABBD, ?CEACD B 图2 C E 1x? ∴ y11, ∴y?. x??,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=90??(2)由于∠DAB+∠CAE=?∴90???2,且函数关系式成立, ?2=???, 整理得???2?90?.当???2?90?时,函数解析式y?1x成立. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4 解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=2∵S?AOC2, ∴BC=4,AH= 1BC=2. ∴OC=4-x. 2?1OC?AH, ∴y??x?4 (0?x?4). 2. (2)①当⊙O与⊙A外切时, . 在Rt△AOH中,OA=x?1,OH=2?x, ∴(x?1)此时,△AOC的面积 2?22?(2?x)2. 解得x? 7. 6 y=4?717. ?662②当⊙O与⊙A内切时, 7. 2 71171此时,△AOC的面积y=4??.综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为或. 2262在Rt△AOH中,OA=x?1,OH=x?2, ∴(x?1)?22?(x?2)2. 解得x? 专题二：动态几何型压轴题 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1.解：（1） 证明?CDF∽?EBD∴ CFCD ，代入数据得?BDBECF?8，∴AF=2 （2） 设BE=x,则d的方法CFAFE?AC?10,AE?10?x,利用（1） ?32， xx?32，BxDC 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，10?10?x?42； 内切，10?10?x?32x，x?10?217．?0?x?10 ． ∴当⊙C和⊙（3）当以边 A相切时，BE的长为42或10?217AC为直径的⊙O与线段DE相切时，BE?20． 3（二）线动问题 [ 略解] (1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 (2)① 1AC 2A E O ， l D A′ BC?33 AC?x2?9， AO?12x?94， AF?12(x?9)12x2?9AE? 4xB C . . ∴S?AEF(x2?9)21?AE?AF?96x2(x2?9)2?x4?270x2?81?，S?3x? (3?x?33) 96x96x②若圆A与直线l相切，则x?使圆A与直线l相切． 31288?x?9，x1?0(舍去)，x2?∵x2??3∴不存在这样的x，4455练习 1. 解： （1）y=－x2＋4x。 （2）2+ 2或。2－ 2 （3）存在。 过点P作PH⊥AB于点H。则 ∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上， ∴P D′=PD=4－x，E D′=ED= y=－x2＋4x，EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。 在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H= (4－x)2－22= x2－8x+12。 ∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900， -x2+4x ∴△E D′A∽△D′P H。∴= ，即 = D′PD′H4-x x2-4x+2 ED′ EA ， x2－8x+12 2±2x=。 2 x2-4x+2 即x= x2－8x+12 ，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得 ?2+2?2+2??2+4×2+2 = 5+22 ＞ 2. ∵当x=时，y=-??222?2? ∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。 . . ?2-2?2-2??2+4×2-2 = 5-22 ＜2. ∵当x=时，y=-?2?222?? ∴此时，点E在边AD上，符合题意。 2-2∴当x=时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。 2 法二 三角形DAD’相似三角形PDE. ED’= 表达式 ； AD’=表达式，利用勾股定理 2 .解：（1）当PQ∥AD时，x＝4. （2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y， ∴(8?x)?y?(6?y)?x 得y?22224x?7 3 ∵0≤y≤6 4x?7≤6 3725 ∴≤x≤ 44 ∴0≤ （3）S?BPE114x?7?4x2?39x?56??BE?BP???(8?x)? 2236114x?7?4x2?25x??CE?CQ??(6?)?x? 22361S矩形ABCD?24 2 S?ECQ 由题意 ∵AP＝CQ，∴S梯形BPQC?. . ∴S?S梯形BPQC?S?BPE?4x2?39x?56?4x2?25x?24?? 664x2?32x?10047252?（x?4）?12（?x?） 整理得：S? 3344 当x＝4时，S有最小值12. 72575或x＝时，S有最大值 44475 ∴12≤S≤ 4 当x＝ 【涉及知识点】动点问题，方程，勾股定理，三角形的面积，梯形的面积 【点评】本题主要考查学生对动点问题的理解掌握情况。第一个问题要求学生能够根据问题列出符合题意的方程，在第二个问题中，学生必须利用边的相等关系，再利用勾股定理求出x的取值范围，第三个问题根据面积关系列出函数关系式，进而取出S的取值，本题难度较大． 3 在平面直角坐标系XOY中，一次函数的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于 A、B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位． （1）写出A点的坐标和AB的长； （2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值． . . 考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质。 专题：几何动点问题；分类讨论。 分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可； （2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案． 解答：解：（1）∵一次函数∴y=0时，x=﹣4， ∴A（﹣4，0），AO=4， 的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点， ∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3， ∴AB=5； （2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，又∠PAQ=∠OAB， ∴△APQ∽△AOB， ∴∠APQ=∠AOB=90°， ∵点P在l1上， ==t， ∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切，（没发掘这一条件） ①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得： ∴∴PQ=6； ， 连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB， . . 得：， ∴， ∴， ∴QC=， ∴a=OQ+QC=， ②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=， ∴PQ=， 连接QE，则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB得：=， ∴，=， ∴QC=，a=QC﹣OQ=， ∴a的值为和， 点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注意分类讨论才能得出正确答案． .