loading§6.1 数列的概念与简单表示法
最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 考情考向分析 以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类
分类原则 按项数分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项与项间 的大小关系 分类 摆动数列 递减数列 常数列 满足条件 项数有限 项数无限 an＋1__>__an an＋1__<__an an＋1＝an 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 其中n∈N * 1
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 知识拓展
1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
??S1，n＝1，则an＝?*
??Sn－Sn－1，n≥2，n∈N.
2．在数列{an}中，若an最大，则?
?an≤an－1，?
??an≤an＋1.
?an≥an－1，?
??an≥an＋1.
若an最小，则?
3．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × )
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )
(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对?n∈N，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ ) 题组二 教材改编
?－1?2．[P33A组T4]在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于( )
n*
an－1
3A. 28C. 5答案 D
5B. 32D. 3
2
?－1??－1?1
解析 a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，
a1a22?－1??－1?2
a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
a3a43
3．[P33A组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.
4
5
23
答案 5n－4 题组三 易错自纠
4．已知an＝n＋λn，且对于任意的n∈N，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－3，＋∞)
解析 因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N，都有an＋1>an，即(n＋1)＋λ(n＋1)>n＋
*
2
2
2
*
λn，整理，
得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{an}中，an＝－n＋11n(n∈N)，则此数列最大项的值是________． 答案 30
2
*
?11?21212
解析 an＝－n＋11n＝－?n－?＋，
2?4?
∵n∈N，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n＋1，则an＝________.
??2，n＝1，
答案 ?*
?2n－1，n≥2，n∈N?
2
*
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
??2，n＝1，故an＝?*
?2n－1，n≥2，n∈N.?
3
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式246
1．数列0，，，，…的一个通项公式为( )
357A．an＝
n－1*
(n∈N) n＋2
n－1*
B．an＝(n∈N)
2n＋1
2?n－1?*
C．an＝(n∈N)
2n－12n*
D．an＝(n∈N)
2n＋1答案 C
解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．
1111
2．数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________.
1×22×33×44×5答案 (－1)
n1
n?n＋1?
解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)
n1
.
n?n＋1?
思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)或(－1)(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法． 题型二 由an与Sn的关系求通项公式
2
kk＋1
，k∈N处理．
*
*
典例 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n＋1(n∈N)，则其通项公式为________________．
??2，n＝1，
答案 an＝?*
?6n－5，n≥2，n∈N?
2
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2×1＋1＝2；
4