loading为增，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为减；若y?f(u)为减，u?g(x)为增，则
y?f[g(x)]为减．
（2）打“√”函数f(x)?x?
a(a?0)的图象与性质 xy o x f(x)分别在(??,?a]、[a,??)上为增函数，分别在[?a,0)、(0,a]上为减函
数．
题型1：讨论函数的单调性 2x在区间（0，1）上的单调性. x?12x12x22(x2?x1)解：任取x1,x2∈(0,1)，且x1?x2. 则f(x1)?f(x2)?. ??x1?1x2?1(x1?1)(x2?1) 由于0?x1?x2?1，x1?1?0，x2?1?0，x2?x1?0，故f(x1)?f(x2)?0，即
[例9.1] 试用函数单调性的定义判断函数f(x)?f(x1)?f(x2).
所以，函数f(x)?2x在（0，1）上是减函数. x?1[例9.2] 求下列函数的单调区间： （1）y?|x?1|?|2x?4|；（2）y??x2?2|x|?3.
?3x?3,x?1?解：（1）y?|x?1|?|2x?4|??x?5,?2?x?1，其图象如右.
??3x?3,x??2?由图可知，函数在[?2,??)上是增函数，在(??,?2]上是减函数.
2???x?2x?3,x?0（2）y??x?2|x|?3??2，其图象如右.
???x?2x?3,x?0由图可知，函数在(??,?1]、[0,1]上是增函数，在[?1,0]、[1,??)上是减函数.
3x?1[例9.3.]已知f(x)?，指出f(x)的单调区间.
x?23(x?2)?5?5解：∵ f(x)?， ?3?x?2x?2?5∴ 把g(x)?的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，
x2得到f(x)的图象，如图所示.
由图象得f(x)在(??,?2)单调递增，在(?2,??)上单调递增.
题型2：研究抽象函数的单调性
[例10] 定义在R上的函数y?f(x)，f(0)?0，当x＞0时，f(x)?1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）. （1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0； （3）求证：f（x）是R上的增函数； （4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.
[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。 [解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.
又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）证明：当x＜0时，－x＞0， ∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.
∴f（－x）=
1＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0， f(x)∴x∈R时，恒有f（x）＞0.
（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0. ∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）. ∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1. 又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）. ∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数. （4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，
∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.. 考点七 最值的求法 题型1：求分式函数的最值
x2?2x?a[例11] （2000年上海）已知函数f(x)?,x?[1,??).
x1时，求函数f(x)的最小值； 211 [解题思路]当a?时，f(x)?x??2，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，
22x当a?可以考虑均值不等式或导数； [解析]当a?111时，f(x)?x??2,f'(x)?1?2 22x2x?x?1，?f?(x)?0。?f(x)在区间[1,??)上为增函数。
?
f(x)在区间[1,??)上的最小值为f(1)?7。
2题型2：还原法求最值
[例11.1] 求函数y?2x?x?1的最小值. 解：
115令x?1?t，则t?0，x?t2?1，所以y?2t2?t?2?2(t?)2?，在t?0时是增函
48数，当t?0时，ymin?2，故函数的最小值为2.
考点八 判断函数的奇偶性及其应用 基础知识复习：
①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数．．．．．．．．．．．f(x)叫做奇函数． ．．．函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－f(x),那么函数．．．x)=．．．．．．．f(x)叫做偶函数． ．．． ②若函数f(x)为奇函数，且在x?0处有定义，则f(0)?0．
③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 [例12] 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） 图象 判定方法 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 1?x； 1?x?x(1?x)1?x2（3）f(x)?；（4）f(x)??|x?2|?2?x(1?x)(x?0),(x?0).
[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。
[解析] （1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由
1?x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）1?x既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
?1?x2?0,??1?x?1,由?得?
x?0且x??4.?|x?2|?2?0,?故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.
1?(?x)21?x21?x21?x2从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x）
?xx?2?2xx故f（x）为奇函数.
（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数.
[例13] （09年山东梁山）定义在区间(?1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y?(?1,1)， 都有f(x)?f(y)?f(求证f (x)为奇函数；
[思路点拨]欲证明f(x)为奇函数，就要证明f(?x)??f(x)，但这是抽象函数，应设法充 分利用条件“对任意的x,y?(?1,1)，都有f(x)?f(y)?f(“赋值”
[解析]令x = y = 0，则
f (0) + f (0) = f(x?y). 1?xyx?y)”中的x,y进行合理 1?xy0?0)?f(0) 1?0∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)
x?x∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0 21?x∴ f (－x) =－f (x)
∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数
考点九 函数奇偶性、单调性的综合应用
[例14] （普宁市城东中学09）已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数，若
f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。
[思路点拨]欲求m的取值范围，就要建立关于m的不等式，可见，只有从
f(m?1)?f(2m?1)?0出发，所以应该利用f(x)的奇偶性和单调性将外衣“f”脱去。
[解析]
f(x)是定义在(?2,2)上奇函数
?对任意x?(?2,2)有f??x???f?x?
由条件f(m?1)?f(2m?1)?0得f(m?1)??f(2m?1)=f(1?2m)
f(x)是定义在(?2,2)上减函数
12?m? 2312?实数m的取值范围是??m?
23??2?1?2m?m?1?2，解得? [例15]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1) 1a2?3a?1)的单调递减区间. 2[思路点拨]欲由f(2a2+a+1) 1a2?3a?1)是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决 2[解析]设0 ∴f(－x2) 1712又2a2?a?1?2(a?)2??0,3a2?2a?1?3(a?)2??0. 4833由f(2a2+a+1) 325)－. 2431a2?3a?1)的单调减区间是[,??) 22323结合0 22考点十 函数奇偶性、周期性的综合应用 基础知识复习： 若f（x）=f（x+a），则f（x）的周期为a， 若f（x）=1/f（x+a），则f（x）的周期为2a 若f（x）=f（a-x），则f（x）关于x=a/2对称 [例5] 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)?1对 于x?R恒成立，且f(x)?0，则f(119)? ________