loading圆的总结
一 集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
二 轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
三 位置关系：
1点与圆的位置关系:
点在圆内 d
2 直线与圆的位置关系:
直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d 外离（图1） 无交点 d>R+r 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ???BD?⑤ AC??ADBC ①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD A DC OO BAEDC 五 圆心角定理 E F O D AC B B圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④ ??ED?BA C六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB和∠ACB是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB B圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角 B ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵∠C=90° B ∴∠C=90° ∴AB是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BOADCOACOAC2 / 10 OA即：在△ABC中，∵OC=OA=OB ∴△ABC是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 七 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C 八 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN是切线 ∴MN⊥OA 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB PO平分∠BPA PAOBOMAN九 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙O中 △ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB= （2）正四边形 2同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE :AE:OA= 1:1:3 / 10 1:3:2 （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA= C CB OO BDAAE1:3:2OD AB十、圆的有关概念 1、三角形的外接圆、外心。 →用到：线段的垂直平分线及性质 2、三角形的内切圆、内心。 →用到：角的平分线及性质 ?轴对称 3、圆的对称性。→ ? ?中心对称十一、圆的有关线的长和面积。 1、圆的周长、弧长 C=2?r, l=R? 2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 S圆=?r ， 2 AOSlB S扇形= 12 lr S圆锥= ?r底面圆l母线 +?r底面圆2 3、求面积的方法 直接法→由面积公式直接得到 间接法→即：割补法（和差法）→进行等量代换 十二、侧面展开图： ①圆柱侧面展开图是 形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的 ； ②圆锥侧面展开图是 形，它的半径是这个圆锥的 ，它的弧长是这个圆锥的底面的 。 十三、正多边形计算的解题思路： 正多边形????等腰三角形?????直角三角形。 转 化转 化可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。 4 / 10 连 OAB作垂线OD圆 一、精心选一选，相信自己的判断！(每小题4分，共40分) 1.如图，把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆，则它们的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ） A．50° B．80° C．90° D．100° A D B O O C B A 第1题图 第2题图 第3题图 C 第4题 3.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC =（ ） A．90° B．60° C．45° D．30°（ ） 4. 如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 ( ) A．25° B．30° C．40° D．50° 5.已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离为6cm，则直线L与⊙O的公共点的个数为（ ） A．2 B．1 C．0 D．不确定 6.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和7cm，两圆的圆心距O1O2 =10cm，则两圆的位置关系是（ ） A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 A1 7.下列命题错误的是（ ） ．． A．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 C OH1 H 1 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 A C1O B C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 128.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离 C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切 9已知两圆的半径R、r分别为方程x?5x?6?0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是( ) A．外离 B．内切 C．相交 D．外切 10.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（ ） A．2 ∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶2 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ） A．25π B．65π C．90π D．130π 12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ） 77 A． π－ 3 38 47 B． π+ 3 38 C．π 4 D． π+3 3 25 / 10