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三角函数应用题的三个模型
作者：龙玉祥
来源：《理科考试研究·初中》2015年第03期
纵观2014年初中数学中考试题，都加大了三角函数知识应用的考题，有的地方以前没单独出三角函数的考题，今年却出了，如四川南充.如何做好三角函数应用的试题呢，我认为一是加强三角函数基础知识的训练，二是要熟练掌握三角函数知识应用三个方面的知识模型，这样一定能做好三角函数应用的考题的.现举例分析说明.
例1 （2014年泰州）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6 m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8 m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1 m）.（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
分析 过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解. 解答 过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.
因为CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°， 所以∠ACF=90°+12°-80°=22°，所以∠CAF=68°， 在Rt△ACF中，CF=AC·sin∠CAF≈0.744 m， 在Rt△CDG中，CG=CD·sin∠CDE≈0.336 m， 所以FG=FC+CG≈1.1 m.
故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1 m.
点评 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题.我们将上面这个图形归纳为一个模型（图3）.
例2 （2014年天津）解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构对的部分可开启的桥梁.（1）如图4，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47 m，从AB的中点C处开启，则AC、开启到A′C′的位置时，A′C′的长为；（2）如图5，某校兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°.已知PQ⊥MQ，MN=40 m，求解放桥的全长PQ.（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）.