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∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
19．【分析】（1）根据韦达定理以及抛物线的定义可得． （2）若
＝3
，则y1＝﹣3y2，?x1＝﹣3x2+4t，再结合韦达定理可解得t＝1，x1＝3，
x2＝，再用弦长公式可得．
【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝（x﹣t），将其代入抛物线y＝3x得：x﹣（t+3）x+t＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
2
2
2
则x1+x2＝＝2t+，①，x1x2＝t②，
2
由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t++＝4，解得t＝直线l的方程为y＝x﹣． （2）若③
由①②③解得t＝1，x1＝3，x2＝，
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，
＝3
，则y1＝﹣3y2，∴（x1﹣t）＝﹣3×（x2﹣t），化简得x1＝﹣3x2+4t，
∴|AB|＝＝．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．
20．【分析】（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），求出原函数的导函数，进一步求导，得到f″（x）在（﹣1，
）上为减函数，结合f″（0）＝1，f″（
）＝﹣1+
＜
﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，函数f″（x）在（﹣1，
）上存在唯一得零点x0，
）上单调递减，可得
结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x0）上单调递增，在（x0，f′（x）在区间（﹣1，
）存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；由于f′（x）在（x0，＞0，f′（
）＜0，可得函数f′（x）在（x0，
）上单调递减，且f′（x0）
）上存在唯一零点x1，结合单调性
）时，f（x）单调递减．当
可知，当x∈（x0，x1）时，f（x）单调递增；当x∈（x∈（
，π）时，f（x）单调递减，再由f（
）＞0，f（π）＜0．然后列x，f′（x）
与f（x）的变化情况表得答案．
【解答】证明：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞）， f′（x）＝cosx令g（x）＝﹣sinx+立，
∴f″（x）在（﹣1，又∵f″（0）＝1，f″（
）上为减函数， ）＝﹣1+
＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，
，f″（x）＝﹣sinx+
，
＜0在（﹣1，
）恒成
，则g′（x）＝﹣cosx
函数f″（x）在（﹣1，x0）上单调递增， 在（x0，
）上存在唯一的零点x0，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，
）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＜f′（0）＝0，f（x）
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单调递减；
当x∈（0，x0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）单调递增； 由于f′（x）在（x0，
）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（
）＝
＜0，
由零点存在定理可知，函数f′（x）在（x0，）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，
当x∈（x0，x1）时，f′（x）单调递减，f′（x）＞f′（x1）＝0，f（x）单调递增； 当x∈（当x∈（递减， 其中f（
）＝1﹣ln（1+
）＞1﹣ln（1+
）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0，
）时，f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（x1）＝0，f（x）单调递减． ，π）时，cosx＜0，﹣
＜0，于是f′（x）＝cosx﹣
＜0，f（x）单调
f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0． 于是可得下表： x （﹣1，0） 0 （0，x1） x1 （） ） f′（x） ﹣ 0 0 + 0 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ （π f（x） 单调递减 单调递增 大于0 单调递减 大于0 单调递减 小于0 ]上有且只有一个零点0， ，π）上有且只有一个零点x2，
结合单调性可知，函数f（x）在（﹣1，由函数零点存在性定理可知，f（x）在（
当x∈[π，+∞）时，f（x）＝sinx﹣ln（1+x）＜1﹣ln（1+π）＜1﹣ln3＜0，因此函数f（x）在[π，+∞）上无零点．
综上，f（x）有且仅有2个零点．
【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．
21．【分析】（1）由题意可得X的所有可能取值为﹣1，0，1，再由相互独立试验的概率求P（X＝﹣1），P（X＝0），P（X＝1）的值，则X的分布列可求；
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（2）（i）由α＝0.5，β＝0.8结合（1）求得a，b，c的值，代入pi＝api﹣1+bpi+cpi+1，得到（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi﹣1），由p1﹣p0＝p1≠0，可得{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；
（ii）由（i）可得，p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0，利用等比数列的前n项和与p8＝1，得p1＝
，进一步求得p4＝
．P4表示最终认为甲药更有效的
概率，结合α＝0.5，β＝0.8，可得在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为方案合理．
【解答】（1）解：X的所有可能取值为﹣1，0，1．
P（X＝﹣1）＝（1﹣α）β，P（X＝0）＝αβ+（1﹣α）（1﹣β），P（X＝1）＝α（1﹣β）， ∴X的分布列为：
X P ﹣1 （1﹣α）β 0 αβ+（1﹣α）（1﹣β） 1 α（1﹣β） ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验
（2）（i）证明：∵α＝0.5，β＝0.8， ∴由（1）得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1．
因此pi＝0.4pi﹣1+0.5pi+0.1pi+1（i＝1，2，…，7），
故0.1（pi+1﹣pi）＝0.4（pi﹣pi﹣1），即（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi﹣1），
又∵p1﹣p0＝p1≠0，∴{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；
（ii）解：由（i）可得，
p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0＝∵p8＝1，∴p1＝
，
p1＝
，
∴P4＝（p4﹣p3）+（p3﹣p2）+（p2﹣p1）+（p1﹣p0）+p0＝P4表示最终认为甲药更有效的概率．
．
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为
，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
【点评】本题是函数与数列的综合题，主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变
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量的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．【分析】（1）把曲线C的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0，可得直线l的直角坐标方程；
（2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值；
法二、写出与直线l平行的直线方程为
，与曲线C联立，化为关于x的一
元二次方程，利用判别式大于0求得m，转化为两平行线间的距离求C上的点到l距离的最小值．
【解答】解：（1）由（t为参数），得，
两式平方相加，得∴C的直角坐标方程为由2ρcosθ+
（x≠﹣1），
（x≠﹣1），
． ；
ρsinθ+11＝0，得
即直线l的直角坐标方程为得
（2）法一、设C上的点P（cosθ，2sinθ）（θ≠π）， 则P到直线得d＝
的距离为： ＝
．
，
．
∴当sin（θ+φ）＝﹣1时，d有最小值为法二、设与直线联立
2
2
平行的直线方程为
，得16x+4mx+m﹣12＝0．
2
2
由△＝16m﹣64（m﹣12）＝0，得m＝±4． ∴当m＝4时，直线
与曲线C的切点到直线
的距离最小，
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