loading专题2.9 函数模型及其应用
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
知识点一 指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 y＝ax(a>1) 性质 在(0，＋∞)上的增减性 增长速度 图象的变化 现为与y轴平行 知识点二 种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 与指数函数相关模型 与对数函数相关模型 与幂函数相关模型 【特别提醒】
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 表现为与x轴平行 各有不同 单调递增 越来越快 随x的增大逐渐表单调递增 越来越慢 随x的增大逐渐单调递增 相对平稳 随n值变化而y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
考点一 利用函数模型解决实际问题
【典例1】【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130；②15
【解析】①x?10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付?60?80??10?130元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，
当y?120元时，李明得到的金额为y?80%，符合要求； 当y?120元时，有?y?x??80%?y?70%恒成立， 即8?y?x??7y,x?y， 8?y?因为???15，所以x的最大值为15.
?8?min综上，①130；②15. 【方法技巧】
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．
【变式1】（2019·河北衡水中学调研）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：k万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗
3x＋5费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值. 【解析】(1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40， 40
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
3x＋5
20×40800
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
3x＋53x＋5800
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
3x＋5令3x＋5＝t，t∈[5，35]， 800
则y＝2t＋－10≥2
t
800800
2t·－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，
tt
此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元. 考点二 构建一、二次函数模型解决实际问题
【典例2】 （2019·山西康杰中学模拟）某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：
项目 年固定每件产每件产品每年最多可生产的件数 200 120 类别 成本 A产品 B产品 20 40 品成本 销售价 m 8 10 18 其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
【解析】(1)由题意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，
2
y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05x22＝－0.05x2＋10x2－40
＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)． (2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0， ∴y1＝(10－m)x1－20为增函数． 又0≤x1≤200，x1∈N，
∴当x1＝200时，生产A产品的最大利润为(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)． ∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)， ∴当x2＝100时，生产B产品的最大利润为460万美元． (y1)max－(y2)max＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m. 易知当6≤m＜7.6时，(y1)max＞(y2)max.
即当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；
当m＝7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润． 【方法突破】
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
【变式2】（2019·河北唐山一中模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4 (1)当0 (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 【解析】(1)由题意得当0 ??20a＋b＝0，由已知得?解得 ?4a＋b＝2，? ? ?5?b＝2， 1a＝－，8 15 所以v＝－x＋. 82 2，0 故函数v＝?15 ??－8x＋2，4 (2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，