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从而四棱锥A1BCDE的体积为V=×S×A1O=×a×
2
a=a,由
3
a=36
3
得a=6.
12.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论. (1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.
因为△PAD为等边三角形, 所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD. 又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB. 因为PB?平面PGB, 所以AD⊥PB.
(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF. 则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB. 在菱形ABCD中,GB∥DE, 所以可得DE∥平面PGB.
而EF?平面DEF,DE?平面DEF,EF∩DE=E, 所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG?平面PGB, 所以平面PGB⊥平面ABCD, 所以平面DEF⊥平面ABCD.