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第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法
N表示自然数集，N?或N?表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是a?M，或者a?M，两者必居其一. （4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A?A A中的任一元素都属于B (2)??性质 示意图 A?B 子集 （或B?A) A?B ?A (3)若A?B且B?C，则A?C (4)若A?B且B?A，则A?B （1）??A（A为非空子集） ?A(B)BA或 真子集 （或B?A） ?A?B，且B中至少有一元素不属于A BA(2)若A?B且B?C，则??A?C ? 集合 相等 A中的任一元素都属A?B 于B，B中的任一元素都属于A (1)A?B (2)B?A A(B) （7）已知集合真子集.
A有n(n?1)个元素，则它有2n个子集，它有2n?1个真子集，它有2n?1个非空子集，它有2n?2非空
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 AIB {x|x?A,且x?B} {x|x?A,或x?B} 并集 AUB AIA?A （2）AI??? （3）AIB?A AIB?B （1）AUA?A （2）AU??A （3）AUB?A AUB?B （1）1AI(e 2AU(e UA)?UUA)??AB AB 补集 eUA {x|x?U,且x?A} 痧U(AIB)?(UA)U(?UB)痧U(AUB)?(UA)I(?UB)
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式 解集 |x|?a(a?0) {x|?a?x?a} |x|?a(a?0) 把x|x??a或x?a} ax?b看成一个整体，化成|x|?a，|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0) |x|?a(a?0)型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法
判别式 ??b2?4ac 二次函数??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c(a?0)的图象 O 一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根 ?b?b2?4acx1,2?2a（其中x1x1?x2??b 2a无实根 ?x2) {x|x??ax2?bx?c?0(a?0)的解集 {x|x?x1或x?x2} b} 2aR ax2?bx?c?0(a?0)的解集 {x|x1?x?x2}
〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念
? ? （1）函数的概念
①设的数记作
A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定
）叫做集合
f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则ff:A?B．
A到B的一个函数，
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数，且a?b，满足a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a?x?b的实数
x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a?x?b，或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做
[a,b)，(a,b]；满足x?a,x?a,x?b,x?b的实数x的集合分别记做[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)．注意：对于集合{x|a?x?b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须
a?b．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①②③
f(x)是整式时，定义域是全体实数．
f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤
y?tanx中，x?k???2(k?Z)．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若
f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知等式a?f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不
g(x)?b解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数
y?f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2?b(y)x?c(y)?0，则在
a(y)?0时，由于x,y为实数，故必须有??b2(y)?4a(y)?c(y)?0，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问
题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图
象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念
①设
A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它
）叫做集合
A到B的映射，记作f:A?B．
对应，那么这样的对应（包括集合②给定一个集合
A，B以及A到B的对应法则fA到集合B的映射，且a?A,b?B．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的
象，元素a叫做元素b的原象．
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的 性 质 定义 图象 判定方法 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x< x时，都12．．．．．有f(x)
y?f[g(x)]，令u?g(x)，若y?f(u)为增，u?g(x)为增，则y?f[g(x)]为增；若
y?f(u)为减，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为增；若y?f(u)为增，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为
减；若
y?f(u)为减，u?g(x)为增，则y?f[g(x)]为减．
y （2）打“√”函数
af(x)?x?(a?0)的图象与性质
x f(x)分别在(??,?a]、[a,??)上为增函数，分别在[?a,0)、(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数
y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x?I，都有o x f(x)?M；
（2）存在x0?I，使得
记作
f(x0)?M．那么，我们称M是函数f(x) 的最大值，fmax(x)?M．
，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x?I，都有
（2）f(x)?m；
②一般地，设函数
y?f(x)的定义域为I存在x0?I，使得f(x0)?m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)?m．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的 性 质 定义 图象 判定方法 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有．f(－x)=－．．．．．．f(x),那么函数f(x)叫做奇函．．．．．．数． ．函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有．f(－x)=f(x),．．．．．．．．．那么函数f(x)叫做偶函数． ．．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） ②若函数
f(x)为奇函数，且在x?0处有定义，则f(0)?0．
③奇函数在
y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换
h?0,左移h个单位k?0,上移k个单位y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)????????y?f(x)?k
h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位②伸缩变换
0???1,伸y?f(x)?????y?f(?x)
??1,缩0?A?1,缩y?f(x)?????y?Af(x)
A?1,伸③对称变换
y轴x轴??y?f(?x) y?f(x)????y??f(x) y?f(x)??直线y?x原点y?f(x)????y??f(?x) y?f(x)?????y?f?1(x) 去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|)
保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y?f(x)??????????y?|f(x)|
将x轴下方图象翻折上去（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的
重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果xnn?a,a?R,x?R,n?1，且n?N?，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用
符号a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号?na表示；0的n次方
根是0；负数a没有n次方根．
②式子na叫做被开方数．a为任意实数；a叫做根式，这里n叫做根指数，当n为奇数时，当n为偶数时， a?0．
n③根式的性质：(（2）分数指数幂的概念
?a (a?0)a)n?a；当n为奇数时，nan?a；当n为偶数时， nan?|a|??．
?a (a?0) ?mn①正数的正分数指数幂的意义是：a?nam(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：a? mn1m1?()n?n()m(a?0,m,n?N?,且n?1)．0的负分数指数幂没
aa有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质
①ar?as?ar?s(a?0,r,s?R) ②(ar)s?ars(a?0,r,s?R)
r③(ab)?arbr(a?0,b?0,r?R)
【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称 定义 函数指数函数 y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数 a?1 0?a?1 xy图象 y?a (0,1)y?axyy?1 y?1 (0,1) O 定义域 值域 xR (0,??) Ox过定点 奇偶性 单调性 图象过定点(0,1)，即当x?0时，y?1． 在R上是减函数 非奇非偶 在R上是增函数 ax?1(x?0)函数值的 变化情况 ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)a变化对 图象的影响
在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低． 〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义 ①若ax?N(a?0,且a?1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．
②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：x（2）几个重要的对数恒等式
?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0)．
loga1?0，logaa?1，logaab?b．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质 如果a①加法：logaN；自然对数：lnN，即logeN（其中e?2.71828…）．
?0,a?1,M?0,N?0，那么
M?logaN?loga(MN) ②减法：logaM?logaN?logaM?logaMn(n?R) ④alogaN?N
MN
③数乘：nloga⑤logabMn?logbNn(b?0,且b?1) logaM(b?0,n?R) ⑥换底公式：logaN?logbab【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数 名称 定义 图象 函数对数函数 y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 0?a?1 yx? 1y?logaxy x?1 y?logax(1,0)O(1,0)xOx定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,??)上是增函数 (0,??) R 图象过定点(1,0)，即当x?1时，非奇非偶 在(0,??)上是减函数 y?0． logax?0(x?1)函数值的 变化情况 logax?0(x?1) logax?0(x?1)logax?0(0?x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对 图象的影响 (6)反函数的概念
设函数
在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． y?f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y?f(x)中解出x，得式子x??(y)．如果对于y在C??(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x??(y)表示x是y的函数，
中的任何一个值，通过式子x函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数，记作x?f?1(y)，习惯上改写成y?f?1(x)．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xy?f(x)中反解出x?f?1(y)；
?f?1(y)改写成y?f?1(x)，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质 ①原函数
②函数
y?f(x)与反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称．
y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f?1(x)的值域、定义域．
y?f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上．
③若P(a,b)在原函数④一般地，函数
y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数
y?x?叫做幂函数，其中x为自变量，?是常数．
（2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在(0,??)都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果??0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,??)上为增函数．如果??0，则幂函数的图象在(0,??)y轴．
?qp上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与
④奇偶性：当?为奇数时，幂函数为奇函数，当?为偶数时，幂函数为偶函数．当?qpq（其中p,q互质，p和q?Z），p是偶函数，若
若则
p为奇数q为奇数时，则y?x是奇函数，若
p为奇数q为偶数时，则y?xp为偶数q为奇数时，
y?xqp是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数在直线
y?x?,x?(0,??)，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x下方，若x?1，其图象
y?x上方，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x上方，若x?1，其图象在直线y?x下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：
f(x)?ax2?bx?c(a?0)②顶点式：f(x)?a(x?h)2?k(a?0)③两根式：
f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
（3）二次函数图象的性质 ①二次函数
f(x)更方便．
f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x??b,顶点坐标是2ab4ac?b2(?,)．
2a4a②当a?0时，抛物线开口向上，函数在(??,?bbb]上递减，在[?,??)上递增，当x??2a2a2a时，
4ac?b2fmin(x)?4a时，
；当a?0时，抛物线开口向下，函数在(??,?bbb在[?当x??]上递增，,??)上递减，
2a2a2a4ac?b2fmax(x)?4a．
③二次函数
f(x)?ax2?bx?c(a?0)当??b2?4ac?0时，图象与x轴有两个交点
M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|?|x1?x2|?（4）一元二次方程ax2?． |a|?bx?c?0(a?0)根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两实根为x1,x2，且x1?x2．令f(x)?ax2?bx?c，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x①k＜x1≤x2 ?
??yb ③判别式：? ④端点函数值符号． 2ab2ax2yf(k)?0?a?0x??kx1Ox2xk?x1Oxbx??2a②x1≤x2＜k ?
f(k)?0
a?0
ya?0f(k)?0?yx??Ob2ax1Ox2kxx1a?0
x2?kxx??b2af(k)?0
③x1＜k＜x2 ? af(k)＜0
ya?0y?f(k)?0x1Okx2xx1Okx2a?0x?f(k)?0
④k1＜x1≤x2＜k2 ?
y?f(k1)?0?a?0yx??f(k2)?0x2k2b2aOk1x1xOk1x1?x2?k2xx??b2a f(k1)?0a?0f(k2)?0 ⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2 ? f(k1)f(k2)?0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合
y?f(k1)?0a?0yf(k1)?0?Ok1x1?k2x2xOx1k1x2?k2xf(k2)?0
a?0f(k2)?0
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 ? 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数
f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间[p,q]上的最值
设
f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x10?2(p?q)． （Ⅰ）当a?0时（开口向上）
①若?b2a?p，则m?f(p) ②若p??bbb2a?q，则m?f(?2a) ③若?2a?q，则m?f(q) ???? ????? ff
(q) (p) ff(q) (p) Ox
fOx
Of((p)?b )f(?b)ff(?b①若?b2a)2a?x0，则2Ma?f(q) ②?b2a?x2a0，则M?f(p)
(q) ??????(Ⅱ)当a?0时(开口向下) f①若?bf(p)2a?p，则Mx(q)Og0? f(p) ②若p??bx x
2a?gq0，则bbOM?f(?2a) ③若x
?2a?q，则M?f(q)
fff(?b ?ff(((p)??bb ?(q) b2a)? 22aa))f(?f2a)f(?b2a)ff(q) (p) (p) O x
OxOf
ff ??(q) ??(q) (p) ?? ①若?b2a?x ②?b0，则m?f(q) 2a?x0，则m?f(p)． ?f(?b)? 2afbff(?2a) (p) (q) x x0 Og0x
gO f
x
?? (q)
f(p) ??
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点
的横坐标。即： 方程
f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．
3、函数零点的求法：
x
x
y?f(x)的零点：
1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○
求函数
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数○
零点．
4、二次函数的零点： 二次函数
y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出
y?ax2?bx?c(a?0)．
2１）△＞０，方程ax ?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
2２）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． ３）△＜０，方程ax2?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．