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课时规范练35 直接证明与间
接证明
一、基础巩固组
1.要证:a+b-1-ab≤0,只需证明( )
2
2
22
A.2ab-1-ab≤0
22
22
B.a+b-1-22
≤0
2
2
C.-1-ab≤0 D.(a-1)(b-1)≥0
2.用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”,应假设( ) A.三个内角至多有一个大于60° B.三个内角都不大于60° C.三个内角都大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
x-x2
3.(2017河南郑州模拟)设x>0,P=2+2,Q=(sin x+cos x),则( ) A.P>Q B.P 4.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+ ( ) A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 ?导学号? 5.(2017山东烟台模拟)设a>b>0,m=,n=,则m,n的大小关系是 . 6.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证:ab+bc+ac≤. 7.(2017河北唐山模拟)已知a>0, >1,求证:. 二、综合提升组 8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 9.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( ) A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形 ?导学号? 1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 10.已知a,b是不相等的正数,x=,y=2 3 ,则x,y的大小关系是 . 11.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x+x,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线. (1)求a,b的值; (2)证明f(x)≤g(x). 三、创新应用组 x12.(2017贵州安顺调研)已知函数f(x)=3-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有 ≥f. 13.在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q(q≠1), 且b2+S2=12,q=. (1)求an与bn; (2)证明: +…+. ?导学号? 课时规范练35 直接证明与间接证明 22222 1.D 在各选项中,只有(a-1)(b-1)≥0?a+b-1-ab≤0,故选D. 2.C “三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”,其否定为“三角形内角都大于60°”.故选C. 2 3.A 因为2+2≥2=2(当且仅当x=0时等号成立),而x>0,所以P>2;又(sin x+cos 2 x)=1+sin 2x,而sin 2x≤1,所以Q≤2.于是P>Q.故选A. 4.D ∵a>0,b>0,c>0, 6, 当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2. 5.m 方法二:(分析法)a 222222 6.证明 由a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1, 222 即a+b+c+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca7.证明 由已知 ,只需证 x-x>0,显然成 >1及a>0可知0 >1, >1, 只需证1+a-b-ab>1,只需证a-b-ab>0,即 即>1,这是已知条件,所以原不等式得证. 8.A 由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1) 9.D 由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形. 2文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 由 得 则A2+B2+C2=, 这与三角形内角和为180°相矛盾. 因此假设不成立, 故△A2B2C2是钝角三角形. 10.x 解得a=0,b=1. (a≠b)?a+b>2 2(a+b)>a+b+2 a+b>, ,g'(x)=b-x+x, 2 (2)证明 令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x+x-x(x>-1). 32 ∵h'(x)=-x2+x-1=, ∴h(x)在(-1,0)内为增函数,在(0,+∞)内为减函数. ∴h(x)max=h(0)=0,即h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x). 12.证明 要证要证 f-(x1+x2) ,即证-2,因此只 -(x1+x2), 即证 由于x1,x2∈R时, ,因此只要证, >0,>0, 显然成立, 因此由基本不等式知故原结论成立. 13.(1)解 设等差数列{an}的公差为d. 因为 3文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 所以 解得(q=-4舍去). 故a+3(n-1)=3n,bn-1 n=3n=3. (2)证明 因为Sn=,所以 所以 +…+因为n≥1,所以0<,所以1-<1,所以 所以 +…+ 4文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.