loading高中数学奥赛辅导专题——数列
一 准备知识
所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{an}，an的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列． 等差数列 数列{an}的后一项与前一项的差an－an－1为常数d 等比数列 数列{an}的后一项与前一项的比定义 an为常数q（q≠0） an?1q为公比 an=a1·qn1 －专有名词 d为公差 通项公式 an=a1+（n－1）d 前n项和 Sn=na1?n(n?1)d?a1?an?na11?qn ?Sn= 221?q??数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是：an=Sn－Sn－1（n≥2）． 有些数列不是用通项公式给出，而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：an＋1=2an+3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．
数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题． 二 例题精讲
例1．（裂项求和）求Sn=
8?18?28?n． ????12?3232?52(2n?1)2?(2n?1)2解：因为an=
8?n11= ?2222(2n?1)?(2n?1)(2n?1)(2n?1)所以Sn=?1?1?232?11??1???2?25??3??111?=1－ ???????222(2n?1)(2n?1)???(2n?1)an3，an+1=，求{an}的通项公式．
2an?15例2．（倒数法）已知数列{an}中，a1=
解：
1an?1?2an?11??2 anan?1?1556n?1?+2（n－1）=∴??是以为首项，公差为2的等差数列，即
aa333?n?n∴an=
3 6n?1练习1．已知数列{an}中，a1=1，Sn=
Sn?1，求{an}的通项公式．
2Sn?1?1解：
12Sn?1?11???2 SnSn?1Sn?1??是以1为首项，公差为2的等差数列． ??1∴??Sn∴
11=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=． Sn2n?1211=? ?(2n?1)(2n?3)2n?12n?3∴an=Sn－Sn－1=
?(n?1)?111∴an=?
?(n?2)??2n?12n?3
例3．（求和法，利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正数数列{an}的前n项和Sn=
1?1???a?n?，求{an}的通项公式． 2?an??1?1??a?解：S1=a1=?，所以a1=1． 1?2?a1??∵an=Sn－Sn－1 ∴2Sn=Sn－Sn－1+
1
Sn?Sn?1∴Sn+Sn－1=
1，即Sn2－Sn－12=1
Sn?Sn?1∴Sn??是以1为首项，公差为1的等差数列．
2∴Sn2=n，即Sn=n
∴an=Sn－Sn－1=n－n?1（n≥2） ∴an=n－n?1．
例4．（叠加法）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3×（－
1n－1
）（n≥3），且2S1=1，S2=－
3，求{an}的通项公式． 22n?1解：先考虑偶数项有：
?1?S2n－S2n－2=－3·???2?
2n?3?1?S2n－2－S2n－4=－3·???2?……
?1?S4－S2=－3·??
?2?3n?1?1???1??????1?????2???4????， 将以上各式叠加得S2n－S2=－3×11?43?1?所以S2n=－2+???2?2n?1(n?1)．
再考虑奇数项有：
?1?S2n＋1－S2n－1=3·??
?2??1?S2n－1－S2n－3=3·???2?……
2n?22n
?1?S3－S1=3·??
?2??1?将以上各式叠加得S2n＋1=2－??(n?1)．
?2??1??1?所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×??，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×???2??2?2n2n?12n2．
n?1??1??4?3???,n为奇数n?1???1??2??n－1
综上所述an=?，即an=（－1）·?4?3????． n?1?2??1????4?3????，n为偶数????2??例5．（an+1=pan+r类型数列）在数列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通项公式．
解：∵an+1－3=2（an－3）
∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列． ∴an－3=2n ∴an=2n+3．
an?1练习2．在数列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通项公式．
22121an+ 221∴an+12－1=（an2－1）
2解：an+12=
∴{an+12－1}是以3为首项，公比为
1的等差数列． 23
?∴an+12－1=3×?1???2?n?1，即an=1?2n?1
－
例6（an+1=pan+f（n）类型）已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n1，求{an}的通项公式．
－
解：（待定系数法）设an+p·3n=an－1+p·3n1
则an=an－1－2p·3n1，与an=an－1+3n
－
－1
比较可知p=－
1． 2?313n?所以?an??是常数列，且a1－=－．
2?22?13n3n?1
所以an?=－，即an=．
222
练习3．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n项和，求{an}的通项公式． 解：∵an=Sn－Sn－1 ∴Sn+Sn－Sn－1=2n+1 ∴2Sn=Sn－1+2n+1
（待定系数法）设2（Sn+pn+q）=Sn－1+p（n－1）+q
??p?2?p??2化简得：－pn－p－q=2n+1，所以?，即?
?p?q?1q?1??∴2（Sn－2n+1）=Sn－2（n－1）+1，
31，S1－2+1= 2211∴{Sn－2n+1}是以为公比，以为首项的等比数列．
22又∵S1+a1=2+1=3，∴S1=
?1??1??1?∴S n－2n+1=??，即Sn=??+2n－1，an=2n+1－Sn=2－??．
?2??2??2?
例7．（an+1=panr型）（2005年江西高考题）已知数列{an}各项为正数，且满足a1=1，
nnn1（1）求证：an 2解：（1）略． an+1= 1（an－2）2+2 21∴an+1－2=－（an－2）2 21∴2－an+1=（2－an）2 2（2）an+1=－ ∴由（1）知2－an>0，所以log2（2－an+1）=log2 1（2－an）2=2·log2（2－an）－1 2∴log2（2－an+1）－1=2［log2（2－an）－1］ 即{log2（2－an）－1}是以―1为首项，公比为2的等比数列 － ∴log2（2－an）－1=－1×2n1 化简得an=2－21?2n?1． (x?1)4?(x?1)4练习4．（2006年广州二模）已知函数f(x)?（x?0）． (x?1)4?(x?1)4在数列{an}中，a1?2，an?1?f(an)（n?N?），求数列{an}的通项公式． (an?1)4?(an?1)4an?1?1(an?1)4?an?1?解：an?1??????， (an?1)4?(an?1)4an?1?1(an?1)4?an?1?从而有ln4an?1?1a?1， ?4lnnan?1?1an?1a1?1?ln3?0知： a1?1由此及ln?a?1?数列?lnn?是首项为ln3，公比为4的等比数列， a?1n??an?1an?14n?134?1n?1?4ln3??3?an?4n?1故有ln（n?N?）。 an?1an?13?1 例8．（三角代换类型）已知数列{an}中，a1=2，an= n?11?an?1，求{an}的通项公式． 1?an?1