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希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试试题
一、选择题（:每题1分，共10分） 1．73282-73252= [ ]
A．47249 B．45829. C．43959 D．44969 2．长方形如图43．已知AB=2，BC=1，则长方形的内 接三角形的面积总比数( )小或相等． [ ] A.
421; B.1; C.; D.. 733[ ]
3．当x=6，y=8时，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 A．1200000-254000. B．1020000-250400 C．1200000-250400. D．1020000-254000
4．等腰三角形的周长为a(cm)．一腰的中线将周长分成5∶3，则三角形的底边长为[ ] A.
a3a84; B.a; C. 或a; D.a. 656555.适合方程x2?2xy?y2+3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合[ ]
?x?2y?3z?0?x?3y?2z??6?x?3y?2z??6?x?y?z?0????A.?2x?y?z?0;B.?x?y?z?0;C.?2x?y?z?0;D.??x?y?z?0 ?x?y?z?0?2x?y?3z?2?2x?y?3z?2?2x?y?3z?2????
6.四边形如图44,AB=
A.1; B.
3,BC=1, ∠A=∠B=∠C=300,则D点到AB的距离是[ ] 2111; C.; D.. 2487．在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对
应值中，最小的值是 [ ] A．1
B．2. C．3 D．4
8．一个等腰三角形如图45．顶角为A,作∠A的三等三分线AD，AE（即∠1=∠2=∠3），若BD=x，DE=y，EC=z，则有 [ ] A．x＞y＞z
B．x=z＞y. C．x=z＜y
D．11
D．x=y=z
9．已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a可以是[ ] A．5 B．9. C．10
10.正方形如图46,AB=1,BD和AC都是以1为半径的圆弧, 则无阴影的两部分的面积的差是[ ] A.
二、填空题（每题1分，共10分）
31.方程x??2?1; B.1??4; C.
?3?1; D.1??6.
6的所有根的和的值是______________. 31?x2.已知a+b=1992?1991,a-b=1992?1991,那么ab=________.
3．如图47，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=______． 4.已知x=133525,那么x?x?x+1的值是______． 2?14245．如图48，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，那么△BPD的面积的值是______．
x3?y36. 已知x+y=4,xy=-4, 那么3=________.
x?y37．在正△ABC中（如图49），D为AC上一点，E为AB上一点，
BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，那么∠BPE=______． 8.已知方程x-19x-150=0的一个正根为a,那么
2
1a?a?1+
+11++┉
a?1?a?2a?2?a?31=____. a?1999?a?2000
9．某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生______名．
10．n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=______． 三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分） 1． 若a，b，c，d＞0，证明：在方程
121x?2a?dx?cd?0,x2?2b?cx?da?0,22121x?2a?bx?ab?0x2?2d?ax?bc?0中,至少有两个方程有不相22等的实数根.
2．(1)能否把1，2，…，1992这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明．
(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明．如果能够，请给出一种分组法．
答案与提示
一、选择题
提示：
5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．
6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．
7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)． 8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3． ∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．
9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．
同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6． ∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．
10．原方程为|3x|=ax+1． (1)若a=3，则|3x|=3x+1．
当x≥0时，3x=3x+1，不成立．
(2)若a＞3．
综上所述，a≥3时，原方程的根是负数． ∴应选(B)．
另解：（图象解法）
设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限． 二、填空题
提示：
1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21． 2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则
4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．
6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．
其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0． 8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．
10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有 3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①
由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得
n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10． 但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．
∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）．
三、解答题
1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：
OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短． 记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O． d(OABCO)-d(OACBO)
=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO) =AB+CO-AC-BO
=AB+CO-AB＇B＇CB＇O =CO-(B＇C+B＇O)＜0
同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0． 所以路线OABCO的距离最短．
因此x与是关于t的方程
解二：由已知条件得
两边加上a4+1，得
显然0＜a＜1，0＜a2＜1．