loading高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数y?x2?2x?15的定义域。
|x?3|?8解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得 x??3或x?5。 ③ 由②解得 x?5或x??11 ④
③和④求交集得x??3且x??11或x>5。
故所求函数的定义域为{x|x??3且x??11}?{x|x?5}。 例2 求函数y?sinx?116?x2的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
由①解得2k??x???2k?，k?Z ③ 由②解得?4?x?4 ④ 由③和④求公共部分，得 故函数的定义域为(?4，??]?(0，?] 评注：③和④怎样求公共部分你会吗 二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。
（2）其解法是：已知f(x)的定义域是［a，b］求f[g(x)]的定义域是解a?g(x)?b，即为所求的定义域。
例3 已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x2?1)的定义域。
解：令?2?x2?1?2，得?1?x2?3，即0?x2?3，因此0?|x|?3，从而?3?x?3，故函数的定义域是{x|?3?x?3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a?x?b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知f(2x?1)的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为1?x?2，2?2x?4，3?2x?1?5。 即函数f(x)的定义域是{x|3?x?5}。 三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5 已知函数y?mx2?6mx?m?8的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明mx2?6mx?8?m?0，使一切x∈R都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m?0进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R；
当m?0时，mx2?6mx?m?8?0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是
综上可知0?m?1。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
kx?7的定义域是R，求实数k的取值范围。 2kx?4kx?3解：要使函数有意义，则必须kx2?4kx?3≠0恒成立，因为f(x)的定义域为R，即
例6 已知函数f(x)?kx2?4kx?3?0无实数
①当k≠0时，??16k2?4?3k?0恒成立，解得0?k?； ②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。 综上k的取值范围是0?k?。
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a?2x)于是可得矩形面积。
1??x2?ax。
2123434由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
?0?x?a。 212a2故所求函数的解析式为y??x2?ax，定义域为（0，）。
例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。 因为CD=AB=2x，所以CD??x，所以AD?L?2x??x?x2故y?2x? ?22?L?AB?CDL?2x??x， ?22?根据实际问题的意义知
故函数的解析式为y??(2?)x2?Lx，定义域（0，
?2L）。 ??2五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例9 已知f(x)的定义域为［0，1］，求函数F(x)?f(x?a)?f(x?a)的定义域。 解：因为f(x)的定义域为［0，1］，即0?x?1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集：
?0?x?a?1??a?x?1?a，即 ???a?x?1?a?0?x?a?1即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知 （1）当??a?0时，F（x）的定义域为{x|?a?x?1?a}；
12（2）当0?a?时，F（x）的定义域为{x|a?x?1?a}； （3）当a?
11或a??时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。 2212六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例10 求函数y?log2(?x2?2x?3)的单调区间。 解：由?x2?2x?3?0，即x2?2x?3?0，解得?1?x?3。即函数y的定义域为（－1，3）。 函数y?log2(?x2?2x?3)是由函数y?log2t，t??x2?2x?3复合而成的。
t??x2?2x?3??(x?1)2?4，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间(??，1]上是增函数；在区间[1，??)上是减函数，而y?log2t在其定义域上单调增；
1]上是(?1，3)?(??，1]?(?1，1]，(?1，3)?[1，??)?[1，3)，所以函数y?log2(?x2?2x?3)在区间(?1，3)上是减函数。 增函数，在区间[1，函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数
解：∵x?0
1?0∴x
y?1x的值域。
显然函数的值域是：(??,0)?(0,??) 例2. 求函数y?3?x的值域。
解：∵x?0
故函数的值域是：[??,3] 2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域。 例3. 求函数
2y?(x?1)?4 解：将函数配方得：
∵x?[?1,2]
由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin?4，当x??1时，ymax?8
故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法
1?x?x2y?1?x2的值域。 例4. 求函数
解：原函数化为关于x的一元二次方程
（1）当y?1时，x?R
13?y?2 解得：2