loading高二数学组 编写人 郭 伟
平均值不等式导学案2
☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式;
2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3.初步掌握不等式证明和应用 一、课前准备（请在上课之前自主完成）
1．定理1 如果a,b?R, 那么a?b?2ab.
当且仅当a?b时, 等号成立.
2. 定理2(基本不等式) 如果a,b?R?, 那么
.
22当且仅当 时, 等号成立.
利用基本不等式求最值的三个条件 推论10. 两个正数的算术平均数, 几何平均数 , 平
方平均数 ,调和平均数，
从小到大的排列是:
☆课前热身：
(1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利 润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为y??(x?6)2?11(x?N?),则每辆客车 营运多少年，其运 营的年平均利润最大（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
(2) 在算式“4???1???30”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步， 则这两个数构成的数对（△，〇）应为 .
2y2 (3) 设x?R且x??1，求x1?y的最大值.
2
二、新课导学
?2请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式： 如果a,b?R?a?b, 那么2??ab.当且仅当a?b时, 等号成立.
如果a,b,c?R,那么 .当且仅当 时, 等号成立. ?建构新知：
? 问题：已知a,b,c?R, 求证：a?b?c?3abc.当且仅当a?b?c时, 等号成立.
333 证明: ∵a?b?c?3abc?
定理3 如果a,b,c?R, 那么
?333a?b?c3?abc, 当且仅当a?b?c时, 等号成立. 3 语言表述：3个数的 平均数不小于它们的 平均数 推论 对于n个正数a1,a2,?,an, 它们的
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高二数学组 编写人 郭 伟
即 当且仅当a?b?c时, 等号成立. 语言表述：n个数的 平均数不小于它们的 平均数 ☆案例学习：
例1已知x,y,z?R?, 求证：
xyzyzx (1)(x?y?z)3?27xyz; (2)(??)(??)?9; (3)(x?y?z)(x2?y2?z2)?9xyz． yzxxyz
例2用一块边长为a的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖 的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？
例3 求函数y?2x?解一:y?2x2?23,(x?0)的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法. x311123?2x2???332x2???334. ∴ymin?34． xxxxx33123312232解二:y?2x??22x??26x当2x?即x?时, ymin?26??23312?26324．
xxx222正解:
例4、已知0 三、当堂检测 1、已知a、b、c都是正数，求证：(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9abc 2、已知a、b、c都是正数，且abc=1.求证：a3+b3+c3≥3 - 2 - 高二数学组 编写人 郭 伟 3、已知x>0，当x取什么值时？2x?1的值最小？最小值是多少？ x2 四、课堂小结 2个数的均值不等式 等号成立的条件 3个数的均值不等式 等号成立的条件 n个数的均值不等式 等号成立的条件 五课后作业 基本不等式2 姓名 日期 年 月 日 11(?1)(?1)的最小值是（ ） 1.若a?0,b?0,a?b?1，则a2b2 A.6 B.7 C.8 D.9 2.若a,b,c＞0且a (a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为（ ） A．3-1 B． 43+1 C． 23+2 D． 23-2 3.若关于x的不等式(1?k2)x≤k＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有（ ） A.2∈M，0∈M； B.2?M，0?M； C.2∈M，0?M； D.2?M，0∈M x2?2x?2 4. 若?4?x?1，则的最小值为（ ） 2x?2 A.2 B.37 C.?1 D.1 5. 函数y?2x2?4,(x?R?)的最小值为（ ） x A.6 B.7 C.8 D.9 xy 6.已知x?3y?2?0,则3?27?1的最小值是 （ ） A. 339 B. 1?22 C. 6 D. 7 7. 求下列函数的最值 6y??3x的最小值． 2 1?、x?0时, 求x 2?、设x?[,27]，求y?log3 423?、若0?x?1, 求y?x(1?x)的最大值． 19x?log3(3x)的最大值． 27 - 3 - 高二数学组 编写人 郭 伟 4?、若a?b?0，求a? 2 8某单位建造一间地面面积为12m的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面 的长 度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶 1的最小值为. b(a?b) 和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用． （1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域； （2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？ 9制作一个容积为16?m的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最 省？（不计加工时的损耗及接缝用料） 3 - 4 -