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课时作业25 解三角形的应用
第一次作业 基础巩固练
一、选择题
1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( D )
A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角，前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( A )
A．50(3＋1) m C．502 m
B．100(3＋1) m D．1002 m
解析：如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，200×sin30°
AB＝200 m，由正弦定理，得BC＝sin45°＝1002(m)，所以河的宽度
2＋6
为BCsin75°＝1002×4＝50(3＋1)(m)．
3．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( D )
3＋6
A.4 km2 3－6
B.4 km2 6＋3
C.4 km2 6－3
D.4 km2
解析：连接AC，根据余弦定理可得AC＝3 km，故△ABC为直角三角形．且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝3DC＝x km，根据余弦定理得x＋x＋3x＝3，即x＝＝3×(2－3)，
2＋3
2
2
2
2
11123＋6－336－3
所以所求的面积为2×1×3＋2×3×(2－3)×2＝＝44(km2)．
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋2，则b的最小值为( A )
A．2 B．3 C.2 D.3
解析：由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，π1
所以tanB＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝4.由S△ABC＝2acsinB＝1＋2，得ac＝22＋4.又b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－2ac＝(2－2)(4＋22)＝4，
当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2.故选A.
5．(2019·郑州质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面积S＝3c，则ab的最小值为( C )
A．28 B．36 C．48 D．56
解析：在△ABC中，2ccosB＝2a＋b，由正弦定理，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB.又A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，得2sinBcosC12π
＋sinB＝0，因为sinB≠0，所以cosC＝－2，又0 ＝3c＝2absinC＝2ab×2，得c＝4.由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosCab2 ＝a＋b＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，所以(4)≥3ab， 2 2 得ab≥48，所以ab的最小值为48，故选C. 6. (2019·山东日照二模)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为( D ) A．23＋2 3＋1B.2 3C.2＋2 D.3＋1 解析：在△ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，由余弦定理得：AC2 ＝12＋22－2×1×2cosα，∵△ACD为正三角形，∴CD2＝AC2＝5－4cosα， ?π??π?131????＋β＋βS△BCD＝2·2·CD·sin3＝CD·sin3＝2CD·cosβ＋2CD·sinβ，在△???? 1AC ABC中，由正弦定理得：sinβ＝sinα，∴AC·sinβ＝sinα，∴CD·sinβ＝sinα，∴(CD·cosβ)2＝CD2(1－sin2β)＝CD2－sin2α＝5－4cosα－sin2α＝(2－cosα)2，31∵β<∠BAC，∴β为锐角，CD·cosβ＝2－cosα，∴S△BCD＝2CD·cosβ＋2π??315πCD·sinβ＝2·(2－cosα)＋2sinα＝3＋sin?α－3?，当α＝6时，(S△BCD)max＝ ??3＋1. 二、填空题 7．如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于156. 解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. BCCD由正弦定理得sin30°＝sin135°， 所以BC＝152. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156. π8.如图所示，在△ABC中，C＝3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，6DE⊥AB，E为垂足，若DE＝22，则cosA＝4.