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课时检测(六十八) 电磁感应中的动量问题 (题型研究课)
1.(多选)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在同一内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab、cd，与导成闭合回路。两根导体棒的质量均为m，长度均为L，电阻均为R，的电阻不计。在整个导轨所在的平面内存在方向竖直向上、磁感应强
水平面轨一起构其余部分度大小为
B的匀强磁场。开始时，两导体棒均在导轨上静止不动，某时刻给导体棒ab以水平向右的初速度v0，则( )
B2L2v0
A．导体棒ab刚获得速度v0时受到的安培力大小为R v0B．两导体棒最终将以的速度沿导轨向右匀速运动
21
C．两导体棒运动的整个过程中产生的热量为mv02
4
3B2L2v03
D．当导体棒ab的速度变为v0时，导体棒cd的加速度大小为 48mR
解析：选BC 当导体棒ab刚获得速度v0时，导体棒cd还没开始运动，此时导体棒ab产生的感应电动势为E＝BLv0，回路中的感应电流为I＝
E
，故此时导体棒ab受到的安培力大小为F＝BIL，2R
B2L2v0
解得F＝，选项A错误；从开始到两导体棒达到共同速度的过程中，两导体棒的总动量守恒，
2Rv0
则可得mv0＝2mv，解得其共同速度为v＝，方向沿导轨向右，选项B正确；由能量守恒定律得，
2111
整个运动过程中产生的总热量为Q＝mv02－×2mv2，解得Q＝mv02，选项C正确；设导体棒ab的
22433
速度变为v0 时，导体棒cd的速度大小为v1，则由动量守恒定律可得mv0＝m·v0＋mv1，此时回路
44E′3
v0－v1?，中的感应电动势为E′＝BL?感应电流为I′＝，此时导体棒cd受到的安培力为F′＝?4?2RF′B2L2v0
BI′L，所以导体棒cd的加速度大小为a＝m，解得a＝，选项D错误。
4mR
2.(多选)如图所示，水平桌面上固定着两相距L＝1 m的足够长行金属导轨，导轨右端接电阻R＝1 Ω，在导轨间存在无数宽度相同界匀强磁场区域，磁感应强度为B＝1 T，方向竖直向下，任意两个
的平的有磁场
区域之间有宽为s0＝0.3 m的无场区，金属棒CD质量为m＝0.1 kg，接入导轨间的电阻为r＝1 Ω。水平置于导轨上，用绝缘水平细线通过定滑轮与质量也为m的物体A相连。金属棒从距最左边磁场区域左边界s＝0.4 m处由静止释放，运动过程中金属棒始终保持与导轨垂直，在金属棒穿过两磁场区域的过程中，通过电阻R的电流变化情况相同，且金属棒从进入磁场开始通过每个区域的时间均相同，重力加速度为g＝10 m/s2，不计其他电阻、摩擦力。则下列说法正确的是(图中并未把所有磁场都画出)( )
A．金属棒每次进入磁场时的速度为2 m/s，离开磁场时速度均为1 m/s B．每个磁场区域的宽度均为0.8 m
C．金属棒在每个磁场区域运动的时候电阻R上产生的电热为1.3 J D．从进入磁场开始，电流的有效值为
13 A 8
解析：选AB 由题意知金属棒穿过两磁场区域的过程中，通过电阻R的电流变化情况相同，即进入每个磁场区域的初速度相同，穿出每个磁场区域的末速度也相同；设金属棒刚进入Ⅰ区的速度为1
v1，由机械能守恒定律可得mgs＝×2mv12，解得v1＝2 m/s，即每次进入磁场时的速度为2 m/s ，
2金属棒在Ⅰ区和Ⅱ区之间的无磁场区域运动，对金属棒有T＝ma，对物体A有mg－T＝ma，解得ag
＝＝5 m/s2，由v12－v22＝2as0，解得v2＝1 m/s，即离开磁场时的速度为1 m/s，A正确；由于金属棒2通过每个区域的时间相同，故通过磁场区域和通过无磁区域的时间相等，为t＝
v1－v2
a＝0.2 s，金属
棒通过磁场区域时，对金属棒有－Ft＋IT＝mv2－mv1，对物体A有mgt－IT＝mv2－mv1，又知Ft＝2?v2－v1?ΔΦBLdB2L2d
BILt＝BLq，q＝＝，整理得t＝＋＝0.2 s，解得d＝0.8 m，B正确；导体gR＋rR＋rmg?R＋r?棒的电阻和R相等，并且两者串联在电路中，故两者产生的热量相等，根据能量守恒定律可得经过11
每一个磁场区域时有mgd＝×2mv22－×2mv12＋2Q，解得Q＝0.55 J，C错误；导体棒经过一个磁
22场区域和一个无磁区域为一个周期，则在这个周期内，通过磁场区域时，有电流产生，其余时间无电流产生，根据有效值的定义可知I2(R＋r)·2t＝2Q＋0，解得I＝
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A，D错误。 8
导轨，其线l2的ad、bc
3．(多选)如图，在水平面内固定有两根相互平行的无限长光滑金属间距为L，电阻不计。在虚线l1的左侧存在竖直向上的匀强磁场，在虚右侧存在竖直向下的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度大小均为B。
两根电阻均为R的金属棒与导轨垂直，分别位于两磁场中，现突然给ad棒一个水平向左的初速度v0，在两棒达到稳定的过程中，下列说法正确的是( )
A．两棒组成的系统的动量守恒 B．两棒组成的系统的动量不守恒
C．ad棒克服安培力做功的功率等于ad棒的发热功率
D．ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和 解析：选BD 开始时，ad棒以初速度v0切割磁感线，产生感应电动势，在回路中产生顺时针方向(俯视)的感应电流，ad棒因受到向右的安培力而减速，bc棒受到向右的安培力而向右加速；当两棒的速度大小相等，即两棒因切割磁感线而产生的感应电动势相等时，回路中没有感应电流，两棒各自做匀速直线运动；由于两棒所受的安培力都向右，两金属棒组成的系统所受合外力不为零，所以该系统的动量不守恒，选项A错误，B正确。根据能量守恒定律可知，ad棒动能的减小量等于回路中产生的热量和bc棒动能的增加量，由动能定理可知，ad棒动能的减小量等于ad棒克服安培力做
的功，bc棒动能的增加量等于安培力对bc棒做的功，所以ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和，选项C错误，D正确。
4．如图所示，足够长的水平导轨左侧b1b2－c1c2部分导轨间距为3L，右侧c1c2－d1d2部分的导轨间距为L，曲线导轨与水平导轨相切于b1b2，所有导轨均光滑且电阻不计。在水平导轨内有斜向下与竖直方向的夹角θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T。质量为mB＝0.2 kg的金属棒B垂直于导轨静止放置在右侧窄导轨上，质量为mA＝0.1 kg 的金属棒A自曲线导轨上a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，A棒总在宽轨上运动，B棒总在窄轨上运动。已知：两棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2 Ω，h＝0.45 m，L＝0.2 m，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。求：
(1)A棒滑到b1b2处时的速度大小； (2)B棒匀速运动时的速度大小；
(3)在两棒整体运动过程中，两棒在水平导轨间扫过的面积之差(最后结果保留3位有效数字)。 解析：(1)A棒在曲线导轨上下滑，由机械能守恒定律得： 1
mAgh＝mAv02
2解得：v0＝3 m/s。
(2)选取水平向右为正方向，对两棒分别应用动量定理， 对B棒：FB安cos θ·t＝mBvB 对A棒：－FA安cos θ·t＝mAvA－mAv0 其中FA安＝3FB安
两棒最后匀速运动时，电路中无电流，有： BLvB＝3BLvA 解得：vA＝
39
m/s，vB＝ m/s。 1919
(3)在B棒加速运动过程中，由动量定理得： Bcos θILΔt＝mBvB－0 电路中的平均电流I＝
E
2R
ΔΦ Δt
根据法拉第电磁感应定律有：E＝
其中磁通量变化量：ΔΦ＝Bcos θΔS 解得：ΔS≈29.6 m2。
9
答案：(1)3 m/s (2) m/s (3)29.6 m2
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5．如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左侧部分水平，右侧部分为半径r＝0.5 m的竖直半圆，两导轨间距离d＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计。有两根长度均为d的金属棒ab、cd，均垂直置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.1 Ω、R2＝0.2 Ω。现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入半圆轨道后，恰好能通过轨道最高位置PP′，cd棒进入半圆轨道前两棒未相碰，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)ab棒开始向右运动时，cd棒的加速度大小a0； (2)cd棒刚进入半圆轨道时，ab棒的速度大小v1； (3)cd棒进入半圆轨道前，ab棒克服安培力做的功W。 解析：(1)ab棒开始向右运动时，设回路中电流为I，有 E＝Bdv0 I＝E
R1＋R2
BId＝m2a0
解得：a0＝30 m/s2。
(2)设cd棒刚进入半圆轨道时的速度为v2，cd棒进入半圆轨道前，cd棒与ab棒组成的系统动量守恒，有
m1v0＝m1v1＋m2v2
cd棒从刚进入半圆轨道到通过轨道最高位置的过程中机械能守恒，有 11m2v22＝m2g·2r＋m2v2 22
cd棒在轨道最高位置由重力提供向心力，有 v2m2g＝m2r 解得：v1＝7.5 m/s。
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(3)由动能定理得－W＝m1v12－m1v02
22解得：W＝4.375 J。
答案：(1)30 m/s2 (2)7.5 m/s (3)4.375 J
6.如图所示，倾角θ＝45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒ab外力F作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，
处在方在水平导轨与