loading专项突破练7 二次函数压轴题
1.(2018四川达州)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价的九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同. (1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?
(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少? 解(1)设进价为x元,则标价是1.5x元,由题意得
1.5x×0.9×8-8x=(1.5x-100)×7-7x, 解得x=1 000,1.5×1 000=1 500(元), 答:进价为1 000元,标价为1 500元;
(2)设该型号自行车降价a元,利润为w元,由题意得w=(1 500-1 000-a),
=-(a-80)+26 460,
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∵-<0,∴当a=80时,w最大=26 460,
答:该型号自行车降价80元出售每月获利最大,最大利润是26 460元.
2.(2018福建)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长; (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值. 解(1)设AB=x m,则BC=(100-2x)m,
根据题意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45, 当x=5时,100-2x=90>20,不合题意舍去; 当x=45时,100-2x=10,答:AD的长为10 m. (2)设AD=x m,
∴S=x(100-x)=-(x-50)+1 250,
2
1
当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1 250;
当0 综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250;当0 a2. 3.(2018甘肃定西)如图,已知二次函数y=ax+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点 B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点. (1)求二次函数y=ax+2x+c的表达式; (2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP'C.若四边形POP'C为菱形,请求出此时点P的坐标; (3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积. 2 解(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式,得 二次函数的解析是为y=-x+2x+3. 2 解得 (2)若四边形POP'C为菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上, 图1 如图1,连接PP',则PE⊥CO,垂足为E, ∵C(0,3), ∴E, 2 ∴点P的纵坐标,当y=时, 即-x2 +2x+3=, 解得x1=,x2=(不合题意,舍),∴点P的坐标为. 图2 (3)如图2, P在抛物线上,设P(m,-m2+2m+3), 设直线BC的解析式为y=kx+b, 将点B和点C的坐标代入函数解析式,得解得 直线BC的解析为y=-x+3,过点P作x轴的垂线,交BC于点Q,交x轴于点F, 设点Q的坐标为(m,-m+3), PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m. 当y=0时,-x2 +2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3,OA=1,AB=3-(-1)=4, S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ =AB·OC+PQ·OF+PQ·FB =×4×3+(-m2 +3m)×3 =-, 3 当m=时,四边形ABPC的面积最大. 当m=时,-m+2m+3=2 ,即P点的坐标为. 当点P的坐标为时,四边形ACPB的最大面积值为. 4.(2018湖南怀化)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式; (2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标; (3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3), 即y=ax-2ax-3a, 2 2 ∴-2a=2,解得a=-1, ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3; 当x=0时,y=-x+2x+3=3,则C(0,3), 设直线AC的解析式为y=px+q, 2 把A(-1,0),C(0,3)代入得(2)∵y=-x+2x+3=-(x-1)+4, 2 2 解得∴直线AC的解析式为y=3x+3. ∴顶点D的坐标为(1,4), 作B点关于y轴的对称点B',连接DB'交y轴于M,如图1,则B'(-3,0), ∵MB=MB', ∴MB+MD=MB'+MD=DB',此时MB+MD的值最小,而BD的值不变, ∴此时△BDM的周长最小, 易得直线DB'的解析式为y=x+3, 当x=0时,y=x+3=3, 4 ∴点M的坐标为(0,3). (3)存在. 过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2, ∵直线AC的解析式为y=3x+3, ∴直线PC的解析式可设为y=-x+b, 把C(0,3)代入得b=3, ∴直线PC的解析式为y=-x+3, 解方程组解得则此时P点坐标为过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=-x+b, 把A(-1,0)代入得+b=0,解得b=-, ∴直线PC的解析式为y=-x-, 解方程组解得则此时P点坐标为综上所述,符合条件的点P的坐标为. ; , 5 5.(2018上海)在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=-x+bx+c经过点A(-1,0)和点 2 B,顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点 C落在抛物线上的点P处. (1)求这条抛物线的表达式; (2)求线段CD的长; (3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O,D,E,M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标. 解(1)把A(-1,0)和点B代入y=-x+bx+c得 2 解得 ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+. (2)∵y=-(x-2)+2 , ∴C,抛物线的对称轴为直线x=2, 如图,设CD=t, 则D, 6 ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处, ∴∠PDC=90°,DP=DC=t, ∴P, 把P2 代入y=-x2+2x+得-(2+t)+2(2+t)+2 -t, 整理得t-2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2, ∴线段CD的长为2. (3)P点坐标为,D点坐标为, ∵抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,∴抛物线向左平移2个单位,向下平移 个单位, 而P点向左平移2个单位,向下平移个单位得到点E, ∴E点坐标为(2,-2),设M(0,m), 当m>0时,·2=8, 解得m=,此时M点坐标为; 当m<0时,·2=8,解得m=-,此时M点坐标为; 综上所述,M点的坐标为. 7 6.(2018广西南宁)如图,抛物线y=ax-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点,其中A(-3,0),C(0,4),点B在x轴上,AC=BC,过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上2 的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标; (2)当△CMN是直角三角形时,求点M的坐标; (3)试求出AM+AN的最小值. 解(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2 -5ax+c得 解得 ∴抛物线解析式为y=-x2+x+4; ∵AC=BC,CO⊥AB, ∴OB=OA=3,∴B(3,0), ∵BD⊥x轴交抛物线于点D, ∴D点的横坐标为3, 当x=3时,y=-×9+×3+4=5, ∴D点坐标为(3,5). (2)在Rt△OBC中,BC==5, 设M(0,m),则BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+1,∵∠MCN=∠OCB, ∴当时,△CMN∽△COB,则∠CMN=∠COB=90°,即,解得m=时M点坐标为; 当时,△CMN∽△CBO, ,此 8 则∠CNM=∠COB=90°,即,解得m=,此时M点坐标为; 综上所述,M点的坐标为. (3)连接DN,AD,如图, ∵AC=BC,CO⊥AB, ∴OC平分∠ACB, ∴∠ACO=∠BCO, ∵BD∥OC,∴∠BCO=∠DBC, ∵DB=BC=AC=5,CM=BN, ∴△ACM≌△DBN,∴AM=DN, ∴AM+AN=DN+AN, 而DN+AN≥AD(当且仅当点A,N,D共线时取等号), ∴DN+AN的最小值=, ∴AM+AN的最小值为 . 9