loading因为g′(x)>0(0
x??
即当x∈(0，1)时，f(x)>2?x＋?.
3??
x??
(3)解 由(2)知，当k≤2时，f(x)>k?x＋?对x∈(0，1)恒成立.
3??x??
当k>2时，令h(x)＝f(x)－k?x＋?，则
3??kx4－（k－2）
h′(x)＝f′(x)－k(1＋x)＝.
1－x2
2
3
3
3
所以当0 k时，h′(x)<0， ?4k－2???上单调递减. 因此h(x)在区间?0， k???当0 4k－2 x?? 时，h(x) 3?k? 3 3 x?? 所以当k>2时，f(x)>k?x＋?并非对x∈(0，1)恒成立. 3??综上可知，k的最大值为2. 3.解 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2. 令f′(x)＝0，得x1＝ －1－4＋3a－1＋4＋3a，x2＝，x1＜x2. 33 所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2). 当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0； 当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，2)内单调递增. (2)因为a＞0， 所以x1＜0，x2＞0. ①当a≥4时，x2≥1. 由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增. 所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值. 9 ②当0＜a＜4时，x2＜1. 由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减. 所以f(x)在x＝x2＝ －1＋4＋3a处取得最大值. 3 又f(0)＝1，f(1)＝a，所以 当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值； 当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值； 当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值. 4.B 5.(1)解 函数的定义域为(0，＋∞).由f(x)＝－kln x(k>0)得 2 x2 kx2－kf′(x)＝x－＝. xx由f′(x)＝0解得x＝k(负值舍去). f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (0，k) － ? k 0 (k，＋∞) ＋ k（1－ln k）2 ? 所以，f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，＋∞). f(x)在x＝k处取得极小值f(k)＝ k（1－ln k） 2 . (2)证明 由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝因为f(x)存在零点，所以 k（1－ln k） 2 . k（1－ln k） 2 ≤0，从而k≥e， 当k＝e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0， 所以x＝e是f(x)在区间(1，e]上的唯一零点. 1 当k>e时，f(x)在区间(0，e)上单调递减，且f(1)＝>0， 2e－kf(e)＝<0，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点. 2 10 综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点. ex－e 6.解 (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，则f′(x)＝2， xx∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， e ∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2， e∴f(x)的极小值为2. x1mx(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－2－(x＞0)， 3xx31 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0). 31 设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)， 3 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减. ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点. 2 ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 3 又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)， 2 可知①当m＞时，函数g(x)无零点； 32 ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； 32 ③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点； 3④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点. 2 综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点； 32 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 3 11 2 当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点. 3(3)对任意的b＞a＞0， f（b）－f（a） ＜1恒成立， b－a等价于f(b)－b＜f(a)－a恒成立.(*) 设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x＞0)， ∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减. mxm由h′(x)＝－2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， xx1 1?21? 得m≥－x＋x＝－?x－?＋(x＞0)恒成立， 2?4? 2 111 ∴m≥(对m＝，h′(x)＝0仅在x＝时成立)， 442?1?∴m的取值范围是?，＋∞?. ?4? 巅峰对决 1.D [由题意，得点P(1，1)，f′n(x)＝(n＋1)xn，则在点P处的切线y－1＝f′n(1)(x－1)，令y＝0得xn＝ nn＋1 ， ∴log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015＝log2016(x1x2…x2015)＝ 2015?1?12 ?＝log2016log2016?××…×＝－1，故选D.] 2016?2016?23 2.A [求导数可得：f′(x)＝x2＋2ax＋2b，∵f(x)有两个极值点x1，x2，∴f′(x)有两个零点， 12