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立体几何专题 图形的染色与切割
例1.如图，有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀.切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体的表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的八个小长方体的表面积之和是752平方厘米.那么原来长方体六个面中面积最小的是________平方厘米.
[答疑编号505787520101]
【答案】48平方厘米 【解答】
分析：回顾在《不规则立体图形的表面积与体积》中所总结的要点，我们应该关注切割前后表面积的变化量。
解：注意到每切一刀增加的面积，就是原来长方体某个面面积的2倍，并且切完三刀后表面积就是原来长方体表面积的2倍，因此原来长方体的表面积是752÷2＝376平方厘米. 那么原来长方体三个面的面积分别是 （472－376）÷2＝48平方厘米， （632－472）÷2＝80平方厘米， （752－632）÷2＝60平方厘米， 所以其中面积最小的是48平方厘米.
进一步思考：你知道这个长方体的长、宽、高了吗？
[答疑编号505787520102]
【答案】6厘米、8厘米、10厘米
实 用 文 档 1
例2.一个棱长为6cm的正方体，把它切开成49个小正方体。小正方体的大小不必都相同，但小正方体的棱长以厘米作单位必须是整数。问：可切出几种不同尺寸的正方体？每种正方体的个数各是多少？
[答疑编号505787520103]
【答案】可切出棱长分别为1cm，2cm和3cm的正方体，其个数依次为36，9和4。 【解答】
1＝1，2＝8，3＝27，4＝64，5＝125，6＝216。
如果能切出1个棱长为5cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm的正方体，共切出小正方体 1＋（6－5）÷1＝92（个）。
因为92＞49，所以不可能切出棱长为5cm的正方体。
如果能切出1个棱长为4cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm或2cm的正方体。设切出棱长为1cm的正方体有a个，切出棱长为2cm的正方体有b个，则有
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解得
，不符合题意，所以切不出棱长为4cm的正方体。
设切出棱长为1cm的正方体有a个，棱长为2cm的正方体有b个，棱长为3cm的正方体有c个，则
解得一组正整数解：a＝36，b＝9，c＝4。
所以可切出棱长分别为1cm，2cm和3cm的正方体，其个数依次为36，9和4。
例3.如图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小立方体各有多少块？
[答疑编号505787520104]
实 用 文 档 2
【答案】8、36、52 【解答】
一个长方体有8个角、12条棱、6个面，角上的8个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。
根据上面的分析得到：
三面涂有红色的小立方体有8块；
两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的2块，故有 ［（4－2）＋（5－2）＋（6－2）］×4＝36（块）；
一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体，故有
［（4－2）×（5－2）＋（4－2）×（6－2）＋（5－2）×（6－2）］×2＝52（块）。
例4.将一个棱长为整数（单位：分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体.在这些小正方体中，6个面都没涂红色的有12块，仅有2面涂红色的有28块，仅有1面涂红色的有多少块？原来长方体的体积是多少立方分米？
[答疑编号505787520105]
【答案】32；80 【解答】
设这个长方体的内部是棱长为a、b、c（a≤b≤c）分米的长方体，切开后各面都未涂色的小正方体就是内部的这些小正方体，而仅有两面涂色的小正方体就是位于原长方体棱上而非角上的那些小正方体，于是
解得a＝b＝2，c＝3。
仅有一面涂色的小正方体是原长方体面上（但又不在棱上）的小正方体，数量为 2×（a×b＋b×c＋c×a）＝32
原来长方体的体积是（a＋2）（b＋2）（c＋2）＝80立方分米。
例5.27个1×1×1的小正方体用胶水粘成1个3×3×3的大正方体.角上的8个小正方体由于粘得不牢而脱落.现将脱落后剩下的物体浸入红色的油漆中，再拿出来。分成19个原来的1×1×1的小正方体.那么现在四面都有漆的小正方体比两面有漆的多________个.
实 用 文 档 3
[答疑编号505787520106]
【答案】12 【解答】
分析：请你首先尽量直观的画出这个立体图形，再思考到底哪些位置的小正方体四面有漆。 解：四面有漆的小正方体为原来大正方体棱中间的小正方体，共12个，而原来各个面中中心的小正方体只有一面有漆，大正方体正中心的那个小正方体没有任何一面有漆。 故本题答案为12.
例6.一个长方体的长、宽、高都是整数.先把它的表面都涂成红色，再把它切成1×1×1的小正方体.已知完全没涂上色的小正方体与三面有色的小正方体的个数相同.那么长方体的体积可能是________.
[答疑编号505787520107]
【答案】90、72、64。 【解答】
长方体内部没有被染色的小方块构成一个小长方体，它的长、宽、高分别比原来的长方体小2.三面红色的小正方体一共有8个（在8个角上），所以小长方体的长、宽、高可以分别为8、1、1或4、2、1或2、2、2，这样大长方体的体积可能为： （1＋2）×（1＋2）×（8＋2）＝90， （1＋2）×（2＋2）×（4＋2）＝72， （2＋2）×（2＋2）×（2＋2）＝64.
例7.将长、宽、高分别为11、10、8的长方体的三个面染上红色，另一个面染上黄色，然后切成棱长为1的单位小正方体，那么只染了一种颜色的小正方体最多有________个.
[答疑编号505787520108]
【答案】330个。 【解答】
长方体的表面上一共有11×10×2＋6×（11×2＋10×2－4）＝448个小正方体. 当把四个面染色之后，空白的两个面要么相对，要么相邻.以这两个面相对为例考虑. 这时表面上448个小正方体中，除了只染了一种颜色的小正方体外，还包括没有染色的（在两
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个空白面的内部）和染了红、黄两种颜色的（在红、黄面交界的两条棱上）小正方体. 当两个空白面所处位置不同时，可分别算得没有染色和染了两种颜色的小正方体个数为： （11－2）×（10－2）×2＋8×2＝160 （11－2）×（8－2）×2＋10×2＝128 （10－2）×（8－2）×2＋11×2＝118
其中最少为118个，因此只染了一种颜色的小正方体最多有448－118＝330个.
当空白的两个面相邻时，可同样的计算得没有染色和染了两种颜色的小正方体最少有152个，不如上一种情况.
综上所述，所求的小正方体最多有330个.
实 用 文 档 5