loading刚体的运动学与动力学问题练习
1.如图14—14所示，一个圆盘半径为R，各处厚度一样，在每个象限里，各处的密度也是均匀的，但不同象限里的密度则不同，它们的密度之比为?1：?2：?3：?4＝1:2:3:4,求这圆盘的质心位置．
y Z1 Z2 P
2 1 x R Q 4 3
2R
图14－14 图14－15 图14－16
2.如图14—15所示，质量为m的均匀圆柱体，截面半径为R，长为2R．试求圆柱体绕通过质心及两底面边缘的转轴(如图中的Z1、Z2)的转动惯量J.
3.如图14—16所示，匀质立方体的边长为a，质量为m．试求该立方体绕对角线轴PQ的转动惯量J．
4.椭圆细环的半长轴为A，半短轴为B，质量为m(未必匀质)，已知该环绕长轴的转动惯量为JA，试求该环绕短轴的转动惯量JB．
5.如图14—17所示矩形均匀薄片ABCD绕固定轴AB摆动，AB轴与竖直方向成 ??30°角，薄片宽度AD?d，试求薄片做微小振动时的周期.
B C B C h h ?=30° A A 图14－17
B
图14－18
A 图14－19
6.一个均匀的薄方板，质量为M，边长为a，固定它的一个角点，使板竖直悬挂，板在自身的重力作用下，在所在的竖直平面内摆动．在穿过板的固定点的对角线上的什么位置(除去转动轴处)，贴上一个质量为m的质点，板的运动不会发生变化?已知对穿过板中心而
1垂直于板的轴，方板的转动惯量为J?Ma2.
67.如图14—18所示，两根等质量的细杆BC及AC，在C点用铰链连接，质量不计，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置无初速地开始运动，求铰链C着地时的速度． 8.如图14—19所示，圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低h时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力.
9.如图14—20所示，实心圆柱体从高度为h的斜坡上从静止纯滚动地到达水平地面上，继续纯滚动，与光滑竖直墙做完全弹性碰撞后返回，经足够长的水平距离后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为?，试求圆柱体爬坡所能达到的
vC0 ?C0h 图14－20 高度h'．
10.在一个固定的、竖直的螺杆上的一个螺帽，螺距为s，螺帽的转动惯量为J，质量为m.假定螺帽与螺杆间的摩擦系数为零，螺帽以初速度v0向下移动，螺帽竖直移动的速度与时间有什么关系?这是什么样的运动?重力加速度为g．
11.在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做纯滚动，质心速度v，另一静止不动，两球做完全弹性碰撞，因碰撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计．试求：
(1)碰后两球达到纯滚动时的质心速度； M,l (2)全部过程中损失的机械髓的百分数． v 12.如图14—21所示，光滑水平地面上静止地放着质量为M、
图14－21 m 长为l的均匀细杆．质量为m的质点以垂直于杆的水平初速度v0与杆一端做完全非弹性碰撞.求(1)碰后系统的速度及绕质心的角速度，(2)实际的转轴(即静止点)位于何处?
13.如图14—22所示，实心匀质小球静止在圆柱面顶点，受到微扰而自由滚下，为了令小球在?≤45°范围内做纯滚动，求柱面与球间摩擦因数?至少多大?
214.如图14—23所示，半径为R的乒乓球，绕质心轴的转动惯量J?mR2，m为乒乓
3球的质量，以一定的初始条件在粗糙的水平面上运动，开始时球的质心速度为vC0，初角速度为?0，两者的方向如图．已知乒乓球与地面间的摩擦因数为?.试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度.
?0 vC0 ?
乒乓球 R O
图14－24 图14－22 图14－23
15.如图14—24所示，一个刚性的固体正六角棱柱，形状就像通常的铅笔，棱柱的质量为M，密度均匀．横截面六边形的边长为a．六角棱柱相对于它的中心轴的转动惯量
J?55Ma2．相对于棱边的转动惯量是J'?Ma2.现令棱柱开始不均匀地滚下斜面．假设1212摩擦力足以阻止任何滑动，并且一直接触斜面．某一棱刚碰上斜面之前的角速度为?i，碰后瞬间角速度为?f，在碰撞前后瞬间的动能记为Eki和Ekf．试证明?f?s?i，Ekf?rEki，并求出系数s和r的值．
参考答案
1.先确定一半径为R的1/4圆的 匀质薄板的质心，如图答14—1所示， 在xOy坐标中，若质心坐标为(xc，yc)， 由对称性知xc=yc，则根据质心的等效意义， 有
y i?2n R O x 图答14－1
?R24xc?xc?lim?Rx??i?1n?2ncos(i?2n)Rcos(i?2n)Rsin(i?2n)?R3limx???8n[sin3(i?2n)?sin(i?2n)]，于是有
R1??R43?lim[sin3(i)?sin(i)]?lim[??2x??n2n2n2x??3?4nn?n?1??()?sin?()22n22n]?4R.
?3?sin()4nsinn3?n?13??()?sin?()22n22n
3?sin()4n?4???4nsin?针对本题中圆盘各象限密度不同有下列方程
?R24(?1??2??3??4)xc?(?1??2??3??4)yc??R24(?1??2??3??4)(?1??2??3??4)4R， 3?4R，
443?88解以上方程得xc?0，yc??R.故质心坐标为(0,?R).
15?15?2.如图答14—2所示，对图中所示的Z1、Z2、Z坐标系与Z3、Z4、Z坐标系运用正交轴定理，有J1?J2?J?J3?J4?J,其中J3??R2?R217mR2,J4?mR2,由对称等效可知 212J1?J2?13mR2 . 24a的八个小立方体，每个小立方体体对23.如图答14—3所示，将立方体等分为边长为
角线到大立方体体对角线距离d?126a?a，依照本专题例3用量纲分析法求解有236?mamama?11kma2?2k()()2?6?k()()2?()()2?，所以有 k?，J?ma2.
828666??82
Q
Z1 Z3 Z4
Z2
3 O R Z 2 图答14－2
d O' C 图答14－3
y2x24.由正交轴定理JA?JB??mi(x?y)及椭圆方程2?2?1,得
AB2i2iA22A2A2222JA?JB??mi(A?2yi?yi)?mA?(1?2)JA，所以JB?mA?2JA.
BBB5.如图答14—4所示，设板质量为M，则对AB轴的转动惯量
2Md1J?lim?(i)2?Md2，对应于与竖直成?角的转轴，等效的重力是
n??i?1nn3nB O ? 与轴垂直的分量Mgsin?,则T?2?Md/3d. ?4?dMgsin?/23g22?A 26.薄板上未贴m时对悬点的转动惯量J0?J?Md?Ma2, 贴m3JJ12后J1?Ma2?mx2.振动周期相同，应有0?,贴上m后，
Mgl(M?m)gl'3质心相对悬点l'?222mx?Mla, 解得x?a. ,l?23M?mMg 图答14－4
7.初始时，系统具有的重力势能EP?mgh，m为一根杆的质量，铰链C刚着地时，速度vC竖直向下，各杆的瞬时转轴为A(B)，转动惯量J?ml2/3，l表示每段杆长：由于铰链C质量不计，则系统总动能Ek?2v1112，下落中机械能守恒，有 J?2?ml2(C)2?mvC23l3
12，mgh：得vC?3gh． mgh?mvC38．如图答14—5所示，圆柱体关于几何轴的转动惯量1J?mR2，对过与绳相切点P的平行轴的转动惯量
2JP?32；设轴心降低h时速度为v，由机械能守恒定律 mR21v2322J()?mv，所以v?3gh，又由质心运动定律 2R43B h P A mgh?v 图答14－5
1mg?T?m?R，由转动定律mgR?mR2?.则T?mg．
3121mR2v2329.纯滚动时，无机械能损失，于是满足方程mgh?mv??()?mv,
222R4'圆柱体与光滑墙碰撞，开始做非纯滚动，经时间t达到纯滚动，质心速度由vC?vC，
''vCvCmR2vCvC'?(?)，解角速度从，运用动量定理及动量矩定理ft?m(vC?vC)，fRt?RR2RR'得vC?vC3h，此后机械能守恒，联系第一式可得mgh'?mv'2，得h'?
49311?2?2210.由机械能守恒定律，得mgs?J(?t2??0，可得 )?m(vt2?v0)，又因?22vs