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【分析】（1）由AB＝AC，D是边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得出∠ADC＝90°，由同角的余角相等可得出∠ADE＝∠DCE，结合∠AED＝∠DEC＝90°可证出△AED∽△DEC，再利用相似三角形的性质可证出DE?CD＝AD?CE；
（2）利用等腰三角形的性质及中点的定义可得出CD＝BC，DE＝2DF，结合DE?CD＝AD?
CE可得出＝，结合∠BCE＝∠ADF可证出△BCE∽△ADF，再利用相似三角形的性质
可证出AF?BC＝AD?BE．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDE＝90°． ∵DE⊥AC， ∴∠CED＝90°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠ADE＝∠DCE．
又∵∠AED＝∠DEC＝90°， ∴△AED∽△DEC， ∴
＝
，
∴DE?CD＝AD?CE； （2）∵AB＝AC， ∴BD＝CD＝BC． ∵F为DE的中点， ∴DE＝2DF． ∵DE?CD＝AD?CE， ∴2DF?BC＝AD?CE，
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∴＝．
又∵∠BCE＝∠ADF， ∴△BCE∽△ADF， ∴
＝
，
∴AF?BC＝AD?BE．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求tan∠OAB的值．
（3）点D在抛物线的对称轴上，如果∠BAD＝45°，求点D的坐标．
2
【分析】（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入y＝﹣x+bx+c，解之，得到b和c的值，即可得到抛物线的表达式，根据抛物线的对称轴x＝﹣，代入求值即可， （2）把点A（3，m）代入y＝﹣x+4x，求出m的值，得到点A的坐标，过点B作BD⊥OA，交OA于点D，过点A作AE⊥OB，交OB于点E，根据三角形的面积和勾股定理，求出线段BD和AD的长，即可得到答案．
（3）把AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，如图2，作AE⊥OB于E，CF⊥OB于F，CA交直线x＝2于D点，利用△BAC为等腰直角三角形得到∠CAB＝45°，证明△ABE≌△BCF得到BF＝AE＝3，BE＝CF＝1，则C（1，﹣1），根据待定系数法求出直线AC的解析式为
2
2
y＝2x﹣3，然后计算自变量为2对应的一次函数值得到D点坐标．
【解答】解：（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入y＝﹣x+bx+c得：
2
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，
解得：
，
2
即抛物线的表达式为：y＝﹣x+4x， 它的对称轴为：x＝﹣
＝2；
2
2
（2）把点A（3，m）代入y＝﹣x+4x得m＝﹣3+4×3＝3，则点A的坐标为：（3，3）， 过点B作BD⊥OA，交OA于点D，过点A作AE⊥OB，交OB于点E， 如图1，AE＝3，OE＝3，BE＝4﹣3＝1，OA＝∵S△OAB＝×OB×AE＝×OA×BD， ∴BD＝∴AD＝∴tan∠OAB＝
＝2； ＝
＝2
＝， ，
＝3
，AB＝
＝
，
（3）把AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，如图2，作AE⊥OB于E，CF⊥OB于F，CA交直线x＝2于D点， ∴BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴△BAC为等腰直角三角形， ∴∠CAB＝45°，
∵∠ABE＝∠BCF，∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BF＝AE＝3，BE＝CF＝1， ∴C（1，﹣1），
易得直线AC的解析式为y＝2x﹣3， 当x＝2时，y＝2x﹣3＝1， ∴D点坐标为（2，1）．
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25.如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD上一点，将
ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．
（1）如果cos∠DBC＝，求EF的长；
（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，并写出x的取值范围；
＝y，求y关于x的函数关系式
（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．
【考点】LO：四边形综合题．
【专题】16：压轴题；32：分类讨论；33：函数思想． 【分析】（1）利用S△BEF＝BF?AB＝EF?BG，即可求解；
（2）y＝＝＝＝，tanα＝＝＝，即
可求解；
（3）分GF＝FC、CF＝CG两种情况，求解即可．
【解答】解：（1）将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处， ∴BG⊥EF，BG＝AB＝6，
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