loading经验证，20?103?(0,4]，即2a≥40?203．??????????13分 答：（1）此时a?203； 92（2）（i）所得函数关系式为y?200?2a，a?(0,4]；
（ii）A,B两处喷泉间距离的最小值为40?203．?????????14分
18．（1）由题意可得，b?1，e?c3，??????????????????3分 ?a2a2?13x222C??y?1.???????5分 a?4得， 解， 椭圆的标准方程为2a44（2）设P(x0,y0)(0?x0≤2)，A(0,1)，B(0,?1)，
所以kPA?y0?1y?1，直线PA的方程为y?0x?1，同理得直线PB的方程为
x0x0y?y0?14(y0?1)x?1， 直线PA与直线x?4的交点为M(4,?1)， x0x04(y0?1)?1)， x0直线PB与直线x?4的交点为N(4,线段MN的中点(4,4y0)，??????????????????????10分 x02所以圆的方程为(x?4)?(y?4y024)?(1?)2，令y?0， x0x0222x016y0y0?14212?y0?1，所以 则(x?4)?2?(1?)， 因为， ??24x0x0x042所以(x?4)?28?5?0，??????????????????????12分 x0因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以5?88?0，解得x0?(,2]．??????????????????14分
5x0 9
设交点坐标(x1,0),(x2,0)，则|x1?x2|?25?88（?x0≤2）， x05所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．???????????????16分 19．（1）设bn?Sn?n，则bn2?Sn?n，
2，3时，b12?S1?n=a1?1，① (b1?d)2?S2?2?2a1?d?2，② 当n?1，(b1?2d)2?S3?3?3a1?3d?3， ③ 联立①②③消去a1，得(b1?d)2?2b12?d ④ (b1?2d)2?3b12?3d ⑤ ④?3?⑤得：b12?2b1d?d2?0，则b1?d，⑥
将⑥代入⑤解出d?1（d=0舍去），??????????????????? 2分
2从而解得a1??3，所以an?1n?5. ?????????????????? 4分
424此时，bn?Sn?n?1n对于任意正整数n满足题意. ??????????? 6分
2（2）因为对任意m,n?N*，m?n，都有在①中取m?n?1，同理
2Sm?na?a?am?an?mn， ① m?nm?n2S2n?1a?a?an?1?an?n?1n?2an?1， ② ????????? 8分 2n?112S2n?1a?a4a?2an?1，③?????????????10分 ?an?2?an?1?n?2n?1?n?22n?1334an?2?2an?1,即2an?2?3an?1?an?1?0， 3由②③知，2an?1?1即an?2?an?2an?1?(an?1?an?1?2an)，????????????????? 12分
2②中令n?1，a3?a1?2a2?0，
从而an?2?an?2an?1?0，即an?2?an?1?an?1?an，????????????? 14分 所以，数列?an?成等差数列. ?????????????????????? 16分
2x?ex?x2?exx(2?x)20．（1）对函数f(x)求导得f?(x)?a．???????1分 ?ax2x2(e)(e)?1ax02x??1?e0ex0设直线y?x与曲线y?f(x)切于点P(x0,y0)，则?，
e?1?a?x0(2?x0)?ex0?e解得a?x0?1．所以a的值为1．???????????????????4分
10
1x21（2）记函数F(x)?f(x)?(x?)?x?x?，x?0，下面考察函数y?F(x)的符号．
xex对函数y?F(x)求导得F?(x)?x(2?x)1?1?，x?0．????????5分 x2ex当x?2时，F?(x)?0恒成立．????????????????????6分
x?(2?x)2]?1， 2x(2?x)11111?1?≤?1??1?1????0?????8分 从而F?(x)?x2x222exexxx当0?x?2时，x(2?x)≤[所以F?(x)?0在(??,0)内恒成立，故y?F(x)在(??,0)内单调递减 因为F(1)?143?0，F(2)?2??0，所以F(1)?F(2)?0． ee2又曲线y?F(x)在区间[1,2]上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知，存在唯一的实数x0?(1,2)，使F(x0)?0． 所以x?(0,x0)，F(x)?0；x?(x0,??)，F(x)?0．
?1x?,0?x≤x0,1??x所以g(x)?min{f(x),x?}??2
x?x,x?x0.??ex?12x??cx,0?x≤x0,??x2从而h(x)?g(x)?cx??2
?x?cx2,x?x.0??ex1?1??2cx,0?x?x0,2??x2所以h?(x)?g(x)?cx??????????????12分
x(2?x)??2cx,x?x0.??ex由函数h(x)?g(x)?cx为增函数，且曲线y?h(x)在(0,??)上连续不断知h?(x)≥0在
2(0,x0)，(x0,??)恒成立．
x(2?x)x(2?x)?2cx≥02c≤在内恒成立，即在(x0,??)(x,??)0exex2?xx?3恒成立．记u(x)=x，x?x0，则u?(x)=x，x?x0．
ee（1）当x?x0时，
11
当x变化时，u?(x)，u(x)变化情况列表如下：
x u?(x) u(x)
(x0,3) ? 3 0 极小值 (3,??) ? 所以u(x)min?u(x)极小值=u(3)??故“2c≤1． e3x(2?x)112c≤u(x)??c≤?在恒成立”只需，即?14分 (x,??)min0exe32e31（2）当0?x?x0时，h?(x)?1?2?2cx，当c≤0时，h?(x)?0在(0,x0)内恒成立，
x1综合（1）（2）知，当c≤?3时，函数h(x)?g(x)?cx2为增函数．
2e1故实数c的取值范围是(??,?3]．???????????????????16分
2e21．A．[选修4??1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
连接OA，因为PA是圆的切线，所以?OAP?90，
?又因为?OAP??ADO?90,?AOD??POA，所以?OAD??OPA，
?所以
OAOD2?， 即OA?OD?OP， ?????????????????5分 OPOA1EF2?OD?OP,即EF2?4OD?OP，??????????????10分 4因为EF为圆的直径，即EF?2OA， 所以
B．设点P(x,y)为圆C：x2?y2?1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P?(x?,y?)，
?x??ax,?a0??x??ax??x??则? ??y???by???y??，所以?y??by．0b?????????x2y2a2x2b2y2因为点P?(x?,y?)在椭圆E：+?1上，所以+?1，
43432?a?1,2???4?a?4,22又圆方程为x?y?1，故?2，即?2，??????????????5分
??b?1,?b?3,??3?2又a?0，b?0，所以a?2，b?3．所以A???0
0??，??????????8分 3?12