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课时提升作业 七十四 证明不等式的基本方法
(25分钟 45分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2016·潍坊模拟)若不等式错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。对于大于1的一切正整数n都成立,则正整数m的最大值为 ( ) A.43
B.42
C.41
D.40
【解析】选C.不等式错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。对于大于1的一切正整数n都成立,只需满足错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。的最小值大于错误！未找到引用源。,当n=2时,错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。取得最小值错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。,所以m<42,所以m最大为41.
2.(2016·青岛模拟)要证:a+b-1-ab≤0,只要证明 ( ) A.2ab-1-ab≤0
B.a+b-1-错误！未找到引用源。≤0 C.错误！未找到引用源。-1-ab≤0 D.(a-1)(b-1)≥0
【解析】选D.要证:a+b-1-ab≤0,只要证明(a-1)(1-b)≤0, 只要证明(a-1)(b-1)≥0.
3.(2016·滨州模拟)下列关于实数x的不等式关系中,恒成立的是 ( ) A.x+错误！未找到引用源。≥2 B.x+1>2x
C.错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≤1 D.|x-1|-|x+2|≤3
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【解析】选D.
当x=-1时,x+错误！未找到引用源。=-2<2,故A错; 当x=1时,x+1=2=2x,故B错;
当x=错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>1,故C错;
由绝对值的几何意义知,|x-1|-|x+2|表示数轴上的点到A(1)和B(-2)的距离之差,其最大值为3,故D正确.
【加固训练】若a,b是正数,则错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。三个数的大小顺序是 ( )
A.错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。
【解析】选C.根据基本不等式得:错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。.
4.(2016·德州模拟)若a>0,使不等式|x-4|+|x-3| B.(0,1] D.上恒成立,则a的取值范围是 ( ) B.错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 2 C.(1,+∞) A.错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。 【解析】选B.由已知错误！未找到引用源。对任意t∈(0,2]恒成立, 于是只要当t∈(0,2]时, 记f(t)=t+错误！未找到引用源。,g(t)=错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。,可 知两者都在(0,2]上单调递减,f(t)min=f(2)=错误！未找到引用源。, g(t)min=g(2)=1, 所以a∈错误！未找到引用源。. 二、填空题(每小题5分,共15分) 7.证明不等式错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。(a≥2)所用的最合适的方法是 . 【解析】欲证明不等式错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。(a≥2),只须证明不等式错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(a≥2),先分别求出左右两式的平方,再比较出两平方式的大小.证明不等式所用的最适合的方法是分析法. 答案:分析法 8.设0 【解析】由a=2x,b=1+x+2x>a,a>0,b>0得b>a.又c-b=错误！未找到引用源。-(1+x)= 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>0得c>b,知c最大. 答案:c 【加固训练】若a,b,c,d均为正实数,且a>b,那么四个数错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。由小到大的顺序是 (用“<”连接). 【解析】因为a>b>0,所以错误！未找到引用源。>1,错误！未找到引用源。>1,错误！未找到引用源。<1,错误！未找到引用源。<1, 则错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。>0,即错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。<0,即错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。,所以由小到大的顺序是错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。. 答案:错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。 9.给出下列命题: ①若a 2 2 2 2 2 2 ②若a≥b>-1,则错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。; ③若正整数m和n满足m 【解析】①若a ②因为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 又a≥b>-1,所以1+a>0,1+b>0,a-b≥0, 所以错误！未找到引用源。≥0,即错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。; ③若正整数m和n满足m ④若x>0,且x≠1,则lgx≠0,则lgx+错误！未找到引用源。≥2或lgx+错误！未找到引用源。≤-2. 答案:②③ (20分钟 40分) 1.(5分)(2016·泰安模拟)已知a,b为非零实数,则使不等式:错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≤-2成立的一个充分而不必要条件是 ( ) A.ab>0 C.a>0,b<0 B.ab<0 D.a>0,b>0 2 2 2 2 【解析】选C.因为错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。同号,由错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≤-2, 知错误！未找到引用源。<0,错误！未找到引用源。<0,即ab<0, 又若ab<0, 则错误！未找到引用源。<0, 所以错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。 ≤-2错误！未找到引用源。=-2, 综上,ab<0是错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≤-2成立的充要条件, 所以a>0,b<0是错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≤-2成立的一个充分而不必要条件. 2.(5分)当0