loading∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD， ∴∠DPF=∠FOD=90°． ∴∠DPF+∠FOD=180°． ∴点O、D、P、F共圆． ∴∠PDF=∠PBF． ∴∠PDF=60°．
4．（2016·湖北十堰）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，
﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO= 5 ，PH= 5 ，由此发现，PO = PH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）①求出PO、PH即可解决问题．
②结论：PO=PH．设点P坐标（m，﹣ m+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．
（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，﹣ m2+1），由即可解决问题．
【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），
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2
=列出方程
∴﹣3=16a+1， ∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）． （2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5， ∴PO=PH，
故答案分别为5，5，=． ②结论：PO=PH．
理由：设点P坐标（m，﹣ m+1）， ∵PH=2﹣（﹣m+1）=m+1 PO=∴PO=PH． （3）∵BC=∴BC=AC， ∵PO=PH，
又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似， ∴PH与BC，PO与AC是对应边， ∴
=
，设点P（m，﹣ m2+1），
=
，AC=
=
，AB=
=4
=m2+1，
2
2
2
∴=，
解得m=±1，
∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．
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【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题． 5．（2016.山东省青岛市）已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=
，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；
（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质得到EH=QM=
，FQ=
，根据相似三角形的性质得到
，根据图形的面积即可得到结论，
（3）根据题意列方程得到t=，t=0，（不合题意，舍去），于是得到结论； （4）由角平分线的性质得到DM=DN=
，根据勾股定理得到ON=OM=
=，
由三角形的面积公式得到OP=5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm， ∴AC=10，
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①当AP=PO=t，如图1， 过P作PM⊥AO，
∴AM=AO=，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD， ∴△APM∽△ADC， ∴∴AP=t=
， ，
②当AP=AO=t=5， ∴当t为
（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G， 在△APO与△CEO中，
，
∴△AOP≌△COE， ∴CE=AP=t， ∵△CEH∽△ABC， ∴∴EH=∵DN=
， ，
=
，
或5时，△AOP是等腰三角形；
∵QM∥DN， ∴△CQM∽△CDN， ∴
，即
，
∴QM=，
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