loading第十五章 整式的乘除与因式分解
一、整式的乘法
m
· an＝am+n（m，n 都是正整数）即同底数幂
1．同底数幂的乘法： a 相乘，底数不变，指数相加。
m
）n＝amn（m，n 都是正整数）幂的乘方，底
2．幂的乘方法则： （a 数不变，指数相乘。
n ＝ n· bn（n 为正整数） 积的乘方=乘方 a 3．积的乘方法则： （ab）
的积
4．单项式与单项式相乘法则： （1）系数与系数相乘（ 2）同底数幂与 同底数幂相乘（ 3）其余字母及其指数不变作为积的因式
5．单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把 所得的积相加。
6．多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加。 二、乘法公式
2
－b2。
1．平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a
2
＝a2± 2ab＋b2
（这个情况就是前
2．完全平方公式： （a± b）
口诀：前平方，后平方，积的两倍中间放，中间符号看情况。 后两项同号得正，异号得负。 ）
3．添括号：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里面的各项 都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里面的各项都改变符号。 三、整式的除法
1．a m÷ an==amn（a≠0，m，n 都是正整数，且 m＞n）即同底数幂
－
相除，底数不变，指数相减。 2． a
0
=1（a≠0）任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。
3．单项式除以单项式： （1）系数相除（ 2）同底数幂相除（ 3）只在 被除式里的幂不变
4．多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。 四、因式分解
1．因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫 做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2．公因式： 一个多项式中各项都含有的相同的因式，叫做这个多项 式的公因式。 3．分解因式方法：
(1)提公因式法： ma+mb+mc =m(a+b+c)。
(2)运用公式法：把整式中的乘法公式反过来使用；
2
－b2＝ （a＋b）（a－b）
①平方差公式： a
②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 ；a2＋b2＝（a＋b）2－ 2ab
2
－2ab＋b2＝（a－b）2 ；a2＋b2＝（a－b）2 ＋2ab a
33
-y=(x-y)(x2+xy+y2) ③立方
差公式： x
(3) ①十字相乘法 1(二次项系数是 1)： x
2
+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q。) ①
二次项系数是 1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的 两个因数之和。
② 十字相乘法 2(二次三项式 )：
2
+bx+c的系数 a 分解成 a1a2，常数项 c分解成 c1c2，
即将二次三项式 ax 并且把 a1a2，c1c2 排列如下：
a1 c1 a2c2
X
这里按斜线交叉相乘，再相加得到 a1 c2+ a2 c1，如果它正好等于 b ( a1 c2+ a2 c1=b)，那么 ax
2
+bx+c就可以分解成 (a1x+ c1)( a2x+ c2)。
评注：利用十字相乘法分解因式的关键是把二次三项式中二次项系数 和常数项分解因式， 使得它们按斜线交叉相乘之积的和刚好等于原二 次三项式中一次项的系数。
④ 十字相乘法 3(二次六项式 )：又叫双十字相乘法。对于某些二次六 项式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f。可以看做关于 x 的二次三项式，ax2+ (by+ d) x + (cy
2
+ey+f) 。先用十字相乘法将常数项 (cy2+ey+f)分解，再利用十字
相乘法将关于 x 的二次三项式分解。
(4)分组分解法：（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式， 例如 a2- b2+a-b，既没有公因式，又不能直接利用公式法分解，但是 如果将前两项和后两项分别结合， 把原多项式分成两组。 再提公因式， 即可达到分解因式的目的。例如：
a 2- b2+a-b=( a2- b2) +( a-b ) =( a-b ) ( a+b) +(a-b ) =( a-b )( a+b+1)，这种利 用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
(5) 待定系数法 ：即先假定一个含有待定系数的恒等式，然后根据各 项恒等的性质， 列出几个含有待确定系数的方程组， 解之求得待定系
数的值；或者从方程组中消去这些待定系数， 求出原来那些已知系数 间所存在的关系，从而解决问题。
整体换元法；巧选主元法；活用配方法；求根公式法。