loading欧阳科创编 2021.02.05
极化恒等式在向量问题中的应
用
时间：2021.02.05 创作：欧阳科 目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 阅读以下材料：
引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.22M
图1
AC?AC?a?b?a?2a?b?bDB?DB222????a?b?222（1）
2?a?2a?b?b22（2）
2（1）（2）两式相加得：结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？
221?a?b?a?b??a?b＝4???————极化恒等式
2222???AC?DB?2?a?b??2?AB?AD??????
????几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和
1对角线”与“差对角线”平方差的4.
即：
a?b?122AC?DB4??（平行四边形模式）
A 思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表B C M 示呢？
因为AC?2AM，所以
a?b?AM?212DB4（三角形模式）
目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值
例1.(2012年浙江文15)在?ABC中，M是BC的中点，AM?3,BC?10，则
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AB?AC?____.
解：因为M是BC的中点，由极化恒等式得：
1?1004= -16
AB?AC?AM?212BC4=9-
【小结】运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，
找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测
目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围
解：取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC
的重心，O在CD上，且OC?2OD?2，所以CD?3，AB?2又由极化恒等式得：
PA?PB?PD?23
122AB?PD?34
因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max?3
当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min?1
所以PA?PB?[?2,6]
【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。 目标检测
1、矩形ABCD中，AB?3,BC?4，点M,N分别为边BC,CD上的动点，且MN?2，
则AM?AN的最小值是( )
A．13 B．15 C．17 D．19
22x?y?1上互不相同的三个点，且AB?ACA,B,C2、已知是圆
，则AB?AC的最小值是
3、已知?ABC,AB?7,AC?8,BC?9, P为平面ABC内一点，满足PA?PC??7，则|PB|的取值范围是.
目标2-3：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题 例3.（2013浙江理7）在?ABC中,P0是边AB上一定点，满足
0。则( ) 且对于边AB上任一点P，恒有PB?PC?P0B?PCA. ?ABC?90B. ?BAC?90 C. AB?ACD.AC?BC
P0B?1AB4，
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目标检测
(2008浙江理9)已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a?c)?(b?c)?0,则c的最大值是( )`1、 2、[2016年江苏]如图，在△ABC中，D是BC的中点，
E，F是AD上的两个三等分点，BA?CA?4，BF?CF??1，则BE?CE的值是. 3、[2014年江苏]如图在平行四边形ABCD中，已知AB?8,AD?5， CP?3PD,AP?BP?2，则AB?AD的值是. 课后检测
1.在?ABC中,?BAC?60若AB?2,BC?值为
2.已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则?D.?1
PA?PB?PC3,D在线段AC上运动，DB?DA的最小
A.1 B.2 C.2 D.22?的最小值为（ ）A.
?111??4 B. 3 C. 2
3．在?ABC中，AB?3，AC?4，?BAC?60，若P是?ABC所在平面内一点，且AP?2，则PB?PC的最大值为
4．在Rt?ABC，AC?BC?2，已知点P是?ABC内一点，则PC?(PA?PB)的最小值是.
o?AOB?120,MNA、BO5.已知是单位圆上的两点，为圆心，且
是圆O的一
条直径，点C在圆内，且满足OC??OA?(1??)OB(0???1)，则CM?CN的取
值范围是（ ）
?1??,1??A．?2?
B．??1,1?
?3??,0?? C．?4?
D．??1,0?
6. 正?ABC边长等于（ ）
3，点P在其外接圆上运动，则AP?PB的取值范围是
?33??31??13??11??,?,?,?,???????? A. ?22? B. ?22? C. ?22? D. ?22?
7．在锐角?ABC中，已知
B??3，
AB?AC?2，则AB?AC的取值范围是．
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