2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯” 2018 年全国初中数学竞赛试题

题号

一 1～5

二 6～1011

三

12

13

总分

14

得分

评卷人

复查人

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答；

2．解答书写时不要超过装订线；

3．草稿纸不上交 .

一、选择题 <共 5 小题，每小题

7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为

A， B， C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分） qfRgF4dw27

1．设 a

7 1 ，则代数式 3a3 12a2

6a 12 的值为 (

2．对于任意实数 a，b， c，d ，定义有序实数对（ a， b）与（c， d）之间的运算

“△”为： < a，b ）△ < c，d ）＝ < ac

bd，ad bc ）．如果对于任意实数

u， v ）△ < x，y ）＝ < u， v

），那么 < x，y ）为 (

x3 y ，则 x y 的值为 (

4 ．点 D，E 分别在△

S2，S ABC 的边 AB，AC 上， BE，CD 相交于点

S，S3 F ，设

S4，则 SS 与 S S 的大小关系为

，则 4S的整数部分等于 (

二、填空题 <共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 6．若关于 x 的方程 ( x

2)(x2 4x m) 0 有三个根，且这三个根恰好可

m 的取值范围是.

以作为一个三角形的三条边的长，则

7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是

4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是

1，2，2，3，3，

1， 3， 4， 5， 6， 8.

同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率

8．如图，点 A， B 为直线 y x 上的两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的平行

线交双曲线 y

的最大值为a，最小值为

b，则 a b 的值为

10．如图，在 Rt△ ABC 中，斜边 AB 的长为 35，正方形 CDEF 内接于△

ABC，且其边长为 12，则△ ABC 的周长为

三、解答题 <共 4 题，每题 20 分，共 80 分） 11．已知关于 x 的一元二次方程

0 的两个整数根恰好比方程

x2 ax b 0 的两个根都大 1，求 a

12．如图，点 H 为△ ABC 的垂心，以 AB 为直径的⊙ O1 和△ BCH 的外接圆

⊙ O2 相交于点 D ，延长 AD 交 CH 于点 P ，求证：点为CH 的中点.

13．如图，点 A 为 y 轴正半轴上一点， A， B 两点关于 x 轴对称，过点 A 任

作直线交抛物线 y

2 x2 于 P ， Q 两点 . 3

<1）求证：∠ ABP =∠ ABQ ；

<2）若点 A 的坐标为 <0， 1），且∠ PBQ =60o，试求所有满足条件的直线

PQ 的函数解读式 .

14．如图，△ABC 中，

3， PB 5， PC 2 ，求△ ABC 的面积．

中国教育学会中学数学教学专业

“《数学周报》杯” 2018 年全国初中数学竞赛试题参考答

一、选择题 1．A

6a2 12a 60 （） 6 6 2a 12a 60

解：依定义的运算法则，有

对任何实数

u， v 都成立 . 由于实数 u， v 的任意性，得

vx uy v v(x 1) uy 0

< x，y ）=<1， 0）．

1
2

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