loading第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
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【初赛试题与解答】
“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次。今年是第二届 问2000年
是第几届？
【解法】“每隔一年举行一次”的意思是每 2年举行一次。今年是 1988年，
至U 2000年还有2000-1988=12年，因此还要举行12-2=6届。 今年是第二届，所以2000年是2+ 6=8届
答：2000年举行第八届。
【分析与讨论】这题目因为数字不大，直接数也能很快数出来：1988、
1990、1992、1994、1996、1998、2000 年分别是第二、三、四、五、六、
七、八届。
一个充气的救生圈（如图32）。虚线所示的大圆，半径是 33厘术。 实线所示
的小圆，半径是9厘米。有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的 速度分别沿大圆和小圆爬行。问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上 大圆上的蚂蚁？
图32
【解法】由于两只蚂蚁的速度相同，由距离十速度 =时间这个式子， 我们知道
大、小圆上的蚂蚁爬一圈的时间的比应该等于圈长的比。 的比又等于半径的比，即：33： 9。
要问两只蚂蚁第一次相遇时小圆上的蚂蚁爬了几圈，就是要找一个最 小的时间，它是大、小圆上蚂蚁各自爬行一圈所斋时间的整数倍。
由上面
的讨论可见，如果我们适当地选取时间单位，可以使小圆上的蚂蚁爬一圈 用9个单位的时间，而大圆上的蚂蚁爬一圈用 33个单位的时间。这样一 来，问题就化为求9和
而圈长
33的最小公倍数的问题了。不难算出9和33的最 小公倍数是99,所以答案为99-9=11。
答：小圆上的蚂蚁爬了 11圈后，再次碰到大圆上的蚂蚁
【分析与讨论】这个题目的关键是要看出问题实质是求最小公倍数的 问题。注意观察，看到生活中的数学，这是华罗庚教授经常启发青少年们 去做的。
图33是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？
團33
【解法】这个题目的做法很多。由于时间所限，直接数是来不及的， 而且容易
出错。下图(图34)给出一个较好的算法。把棋盘分割成一个 平行四边形和四个小三角形，如图34。平行四边形中的棋孔数为9X 9=91, 每个小三角形中有10个棋孔。所以棋孔的总数是81 + 10X 4=121个
答：共有121个棋孔。
图34
【分析与讨论】玩过跳棋的同学们，你们以前数过棋孔的数目吗？有 兴趣的同
学在课余时都可以数一数，看谁的方法最巧？
有一个四位整数。在它的某位数字前面加上一个小数点， 再和这个四 位数相加，得数是2000.81。求这个四位数。
【解法1】由于得数有两位小数，小数点不可能加在个位数之前。如 果小数点
加在十位数之前，所得的数是原米四位数的百分之一， 再加上原 来的四位数，得数
2000.81应该是原来四位数的1.01倍，原来的四位数 是 2000.81 - 1.01 = 1981。
类似地，如果小数点加在百位数之前，得数2000.81应是原来四位数 的1.001倍，小数点加在千位数之前，得数 2000.81应是原来四位数的 1.0001 倍。但是(2000.81 - 1.001 )和(2000.81 - 1.0001)都不是整数， 所以只有1981是唯一可能的答案。
答：这个四位数是1981。
【解法2】注意到在原来的四位数中，一定会按顺序出现 8，1两个 数字。小
数点不可能加在个位数之前； 也不可能加在千位数之前，否则原 四位数只能是
8100,在于2000.81 了。
1而小于
100。这个数加上原来的四位数等于 2000.81，所以原来的四位数一定比 2000小,但比1900大，这说明它的前两个数字必然是 1, 9。由于它还有 8，1两个连续的数字，所以只能是1981。
无论小数点加在十位数还是百位数之前，所得的数都大于
【分析与讨论】解法1是用精确的计算，解法2靠的是“判断”。判 断也需要
技巧，而且是建立在对问题的细致分析上。
这里需要指出，不能一看到得数2000.81中有二位小数就得出“小数 点正好加在十位数之前”的结论。请同学们想想为什么？
图35是一块黑白格子布。白色大正方形的边长是14厘米，白色小正 方形的边长是6厘米。问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？
14
曲:口
图35
【解法】格子布的面积是图36面积的9倍，格子布白色部分的面积 也是图36上白色面积的9倍。这样，我们只需计算图36中白色部分所占 面积的百分比就行了。这个计算很简单：
14X ]^| + 6X 6
20X 20
= 0.58= 58^
答：格子布中白色部分的面积是总面积的 58%。
【分析与讨论】这个题目的关键是看到格子布可以分割成 9块如图 35的正方
形。这实质上是利用了格子布的“对称性”：格子布图案是由 一块图案重复地整齐排列而成的。
“对称”不仅是数学中的重要概念，而且是自然界构成的一条基本规 律。因此，
自古以来，在各个不同领域，如数学、物理学、化学、甚至美 学等，都把“对称性”与“不对称性”作为重要的课题来研究。著名数学 家H ?魏尔曾专门写过一本名为《对称》的书（有中译本），内容非常丰 富，思想极其深刻，很值得一读。
图37是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字。问：这六 个方框中的数字的连乘积等于多少？
□□□ 89 4
图37
【解法】两数相减，习惯上先考虑个位数。但仔细看一下就会发现， 两个二位数
的个位是不确定的：这两个个位数同时加
数字是0,使得乘积总是0。这就启发我们试着找方框中的0。
两个三位数的首位当然不是0,因此减数的首位最少是1,被减数的 首位至多是
1或同时减1，它们
的差不变。这样一来，六个方框中的数字的连乘积就会不确定了， 除非有 一个方框的
9。但因为差的首位是8,所以只有一种可能，就是被减数首 位是9，减数的首位是1。
这样一来，第二位数上的减法就不能借位了。 被减数的第二位至多是 9而减数的第二位至少是0,这两数的差是9,所以也只有一种可能：被 减数的第二位是9,减数的第二位是0。这样我们就确定了六个方框中有 一个方框里的数必是0。
答：六个方框中的数字的连乘积等于 0。
【分析与讨论】这道题不需要完全确定这两个三位数，而且也不能完 全确定，例
如被减数与减数可以分别是（996, 102），也可以是（994, 100）,（ 999,
105）,等等。
有的同学会说：这个题目的答案是猜出来的。
“猜”也是数学上的一种方法。数学上有许多著名的猜想对数学的发 展产生了重
要的影响。这里要着重说明二点：第一，数学上的“猜想”不 是毫无根据的“胡思乱想”，而是指数学家对问题经过深入的分析或大量 的例证检验后所设想的答案；是有一定道理的。象本题的解法中，我们经 过分析发现，如果六个方框中没有 0,这个题目的答案就不是唯一的了， 所以猜想答案是0。如果猜测答案是100就没有道理了。第二，“猜想” 不等于答案，猜想要经过严格的证明才能成为答案。 例如，著名的哥德巴 赫猜想至今还未能得到证明，因此仍然被称为“猜想”。
图38中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是 正方形的四个顶点。问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？
Jl =3. 14
ffi 38
【解法】每个圆和正方形的公共部分是一个扇形，它的面积是圆的面 积的四分之
一。因此，整个图形的面积等于正方形的面积加上四块四分之 三个圆的面积。而四块四分之三个圆的面积等于圆面积的三倍。
个图形的面积等于正方形的面积加上圆面积的三倍，也就是
因此，整
2X 2+nX 1X 1X 3\13.42 （平方米）。
答：这个正方形和四个圆盖住的面积约是 13.42平方米。