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230230
所以，直线PB的斜率为或－.
55
x2y23
11．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.
ab2
(1)求椭圆C的标准方程；
5
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点4
O到直线l的距离的取值范围．
解：(1)由题知e＝＝
ca3222
，2b＝2，又a＝b＋c，所以b＝1，a＝2， 2
所以椭圆C的标准方程为＋y＝1.
4
x2
2
y＝kx＋m，??2
222
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立?x得(4k＋1)x＋8kmx＋4m－4＝0， 2
＋y＝1，??4
依题意，Δ＝(8km)－4(4k＋1)(4m－4)＞0，化简得m＜4k＋1，① 8km4m－4
x1＋x2＝－2，x1x2＝2，
4k＋14k＋1
2
2
2
2
2
2
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
5y1y25
若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，
4x1x24所以4kx1x2＋4km(x1＋x2)＋4m＝5x1x2，
4(m－1)8km2
所以(4k－5)·2＋4km·(－2)＋4m＝0，
4k＋14k＋1
2
2
2
2
522222222
即(4k－5)(m－1)－8km＋m(4k＋1)＝0，化简得m＋k＝，②
461522
由①②得0≤m＜，＜k≤，
5204因为原点O到直线l的距离d＝|m|1＋k2
，
52－k4m92
所以d＝＝＝－1＋222，
1＋k1＋k4(1＋k)
2
又
152
＜k≤， 204
8?214?2
所以0≤d＜，所以原点O到直线l的距离的取值范围是?0，?.
77??
x2y2
12．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的短轴长为42，
ab
1
离心率为.
3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，直线F1M的斜率为26，记直线AM，BN的斜率分别为k1，
k2，求3k1＋2k2的值．
c1
解：(1)由题意，得2b＝42，＝.
a3
又a－c＝b，所以a＝3，b＝22，c＝1. 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
98
(2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F1(－1，0)． 据题意，直线F1M的方程为y＝26(x＋1)．
记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M′.设M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2)．因为F1M∥F2N，所以根据对称性，得N(－x2，－y2)．
2
2
2
x2y2
?8x＋9y＝722联立?，消去y，得14x＋27x＋9＝0.
?y＝26(x＋1)
33
由题意知x1>x2，所以x1＝－，x2＝－，
72
22
y126(x1＋1)46－y226(x2＋1)26
k1＝＝＝，k2＝＝＝－，
x1＋3x1＋39－x2－3x2＋33
46?26?所以3k1＋2k2＝3×＋2×?－?＝0，即3k1＋2k2的值为0.
9?3?