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步步高高考复习 空间几何体的结构、三视图和直观图
一、选择题
1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )． A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆． 答案 A
2. 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是（ ）
（A）(0,2) （B）(0,3) （C）(1,2)（D）(1,3)
答案 A
3. 下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是( )
A．①② B．①③ C．①④
D．②④
解析 由几何体分析知②④中正视图和侧视图相同． 答案 ：D
4．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )． A.
222222a B．22a2 C.a2 D.a 423
解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝
2
S，本题中直观图的面积为4
a2，所以原平面四边形的面积等于
a224
＝22a2.故选B.
答案 B
5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为( )．
解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合． 答案 D
16．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则2该几何体的俯视图可能是( )．
解析 当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯1π
视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图24为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，1
高为1，体积为. 2答案 C
7. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析 由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该几何体的直观图是B. 答案 B 二、填空题
8．利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形． 以上结论正确的个数是________．
解析 由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误． 答案 1
9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．
解析 由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几 何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③. 答案 ③
10. 用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为________．
解析 由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为9.
答案 14 9
11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
解析 (构造法)由正视图和俯视图可知几何体是 正方体切割后的一部分(四棱锥C1- ABCD)，还原 在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即 为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长