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第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 设全集U??1,2,3,4?，集合A?x|x2?5x?4?0,x?Z，则CUA=____________．
???x?t22. 参数方程为?（t为参数）的曲线的焦点坐标为____________．
y?2t?3. 已知复数z满足z?1，则z?2的取值范围是____________． 4. 设数列?an?的前n项和为Sn，若Sn?1?5. 若(x?2an(n?N*)，则limSn=____________．
n??31n)(n?4,n?N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n?_____． 2x6. 把1随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张形状大小一样的卡片上，的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）
17. 若行列式cos2sinx2xcos24x2xsin210中元素4的代数余子式的值为，则实数x的取值集合为
28____________．
8. 满足约束条件x?2y?2的目标函数z?y?x的最小值是____________．
0?x?2?log2x，?9. 已知函数f(x)??2x5．若函数g(x)?f(x)?k有两个不同的零点，则实数k的取值范围
()?，x?2?9?3是____________．
10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．
11. 如图：在?ABC中，M为BC上不同于B,C的任意一点，点N满足
N A.
BMC.
uuuruuuuruuuruuuruuurAN?2NM．若AN?xAB?yAC，则x2?9y2的最小值为____________．
12. 设单调函数y?p(x)的定义域为D，值域为A，如果单调函数y?q(x)使得函数y?p(q(x))的值域也是A，则称函数y?q(x)是函数y?p(x)的一个“保值域函数”． 已知定义域为?a,b?的函数h(x)?2，函数f(x)与g(x)互为反函数，且h(x)是f(x)的一个“保x?3值域函数”，g(x)是h(x)的一个“保值域函数”，则b?a?___________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. “x?1”是“
1?1”的（ ） x（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委
米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）
（A）21斛 （B）34斛 （C）55斛 （D）63斛
r115. 将函数y??的图像按向量a?(1,0)平移，得到的函数图像与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图像的
x所有交点的横坐标之和等于（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
x2y2??1(m?4)右焦点F的圆与圆O:x2?y2?1外切，16. 过椭圆则该圆直径FQ的端点Q的轨迹mm?4是（ ）
（A）一条射线 （B）两条射线 （C）双曲线的一支 （D）抛物线
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图：在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA?AD?2．
（1）求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
F.
PABEDC.
（2）若点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
m?4x?1已知函数f(x)?是偶函数．
2x（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式2k?f(x)?3k?1在(??,0)上恒成立，求实数k的取值范围．
219. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间处，丙船在最后面的C点处，且BC:AB?3:1．一机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻（船只与无人机的大?APB?300，?BPC?900．它因素忽略不计）
（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；
（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）
直线航的B点架无人测
得
小及其
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）
x2x2y22?y?1与双曲线2?2?1(a?0,b?0)有相同的焦点F1、F2，如图：椭圆它们在y轴右侧有两2abuuuuruuuurr个交点A、B，满足F2A?F2B?0．将直线AB左侧的椭圆部分（含A,B两点）记为曲线W1，直线AB右侧的双曲线部分（不含A,B两点）记为曲线W2．以F1为端点射线，分别交W1于点P(xp,yp)，交W2于点M(xM,yM)(点M在
.
yMP AF2NBW2作一条第一象
W1F1Ox.
uuur限),设此时F1M=m?F1P.
（1）求W2的方程; （2）证明:xp?1，并探索直线MF2与PF2斜率之间的关系; m（3）设直线MF2交W1于点N，求?MF1N的面积S的取值范围.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3
第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4
第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……
第k行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,?,直至按原序抄写第k?1行,
最后添上数k.（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.
将按照上述方式写下的第n个数记作an(如a1?1,a2?1,a3?2,a4?1,?,a7?3,?,
a14?3,a15?4,L)．
（1）用tk表示数表第k行的数的个数，求数列?tk?的前k项和Tk；
（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用an0表示第8行中的第73个数，试求n0和 an0的值；若不是，请说明理由；
（3）令Sn?a1?a2?a3?L?an，求S2017的值．
参考答案
一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)
1. ?1,4? 2. (1,0) 3. ?1,3? 4. 1 5. 8 6. 7. ?x|x?2k??7 10???52?,k?Z? 8. ?2 9. (,1) 10. 8800 11. 12. 1 395?二、选择题：(共20分，每题5分)
13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题
.
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17、
zPzPFE A(O)xBCDy A(O)xBCDy
解：（1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，则
P(0,0,2),A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),--------2分
uuuruuur所以，PC?(2,2,?2),AB?(2,0,0),--------4分 uuuruuurPC,AB设的夹角为?，
uuuruuurPC?AB43?则cos??uuu,--------5分 ruuur?3PC?AB23?2uuuruuur3所以，PC,AB的夹角为arccos，
3即异面直线PC与AB所成角的大小为arccos3.--------6分 3（2）因为点E、F分别是棱AD和PC的中点，
uuur可得E(0,1,0)，F(1,1,1)，所以EF?(1,0,1)，--------8分 uuuruuur又BC?(0,2,0)，PC?(2,2,?2)，--------10分
uuuruuuruuuruuur计算可得EF?PC?0,EF?BC?0，--------12分
所以，EF?PC,EF?BC，又PCIBC?C，所以EF⊥平面PBC.--------14分
m?4x?118、(1) 因为函数f(x)?是定义域为R的偶函数，所以有f(?x)?f(x)，-2分
2xm?4?x?1m?4x?1?即，
2?x2xm?4xm?4x?1?即， ------------------------------4分 2x2x故m=1. -----------------------------------------6分
4x?1222k?f(x)?3k?1在(??,0)上恒成立， ?0,3k?1?0(2)f(x)?，且x2
故原不等式等价于
2k1?在(??,0)上恒成立，--------------------8分 23k?1f(x)又x?(??,0)，所以f(x)??2,???， -------------------------------------10分
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