loading3. 36. (2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB→→
＝AD＝1. 若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为__________. 解得λ＝
21答案：
16
1??3???3? 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A ?0，－?，B ?，0?，C ?0，?，D 2???2??2?
3??
?－，0?， ?2?
3???33?→→
点E在CD上，则DE＝λDC(0≤λ≤1)，设E(x，y)，则 ?x＋，y?＝λ ?，?，
2???22?
33x＋＝λ，
22
即
3y＝λ.
2
?????
据此可得
E ?
33?331??3?3→→
λ－，λ?，且AE＝ ?λ－，λ＋?，BE＝
22?222??2?2
3??3
?λ－3，λ?.
2??2
1?3??3?3→→?3?3
由数量积的坐标运算法则可得AE·BE＝?λ－?·?λ－3?＋λ·?λ＋?，
2??22??2?2?2
→→32
整理可得AE·BE＝(4λ－2λ＋2)(0≤λ≤1)．
4
121→→
结合二次函数的性质可知，当λ＝时，AE·BE取得最小值.
416
(本题模拟高考评分标准，满分14分)
已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)． (1) 若m＝2，求|c|的值；
(2) 若c与a的夹角为90°，求m的值．
解：(1) (解法1)当m＝2时，由已知得c＝(m＋4，2m＋2)＝(6，6)，(3分)
22
所以|c|＝6＋6＝62.(7分)
5
(解法2)由已知得a＝1＋2＝5，b＝4＋2＝20，a·b＝1×4＋2×2＝8，(3分)
2222
当m＝2时，c＝(2a＋b)＝4a＋4a·b＋b＝4×5＋4×8＋20＝72， 所以|c|＝72＝62.(7分)
(2) 因为c与a的夹角为90°，所以c·a＝0.(9分) (解法1)由已知，得c＝(m＋4，2m＋2)， 所以c·a＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8＝0，
8
所以m＝－.(14分)
5
222
(解法2)由已知得a＝1＋2＝5，a·b＝1×4＋2×2＝8，
2
所以c·a＝(ma＋b)·a＝ma＋a·b＝5m＋8＝0，
8
所以m＝－.(14分)
5
1. 已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________． 答案：5
解析：∵ λa＋b＝0，∴ λa＝－b，
22
∴ |λa|＝|－b|＝|b|＝2＋1＝5， ∴ |λ||a|＝5.
又|a|＝1，∴ |λ|＝5. 2. (2018·常州学业水平监测)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝3，P为△ABC 内一点(含
→1→→→→
边界)．若满足BP＝BA＋λBC(λ∈R)，则BA·BP的取值范围是________．
4
?525?答案：?，? ?84?
1
解析：在边BA上找一点D，使其满足BA＝BD，过点D作DE∥BC，交AC于点E.
4
3→1→→
因为BP＝BA＋λBC(λ∈R)，所以点P为线段DE上的动点，可以得到λ∈[0，]．利
44
2223＋5－712π
用余弦定理得cos B＝＝－，所以B＝；
2×3×523
1→→→→1→→→→2515→→?525??525?BA·BP＝BA·(BA＋λBC)＝BA2＋λBA·BC＝－λ∈?，?，即BA·BP∈?，?.
4442?84??84?
3. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(1，0)，b＝(0，2)．设向量x＝a＋(1－cos
1
θ)b，y＝－ka＋b，其中0<θ<π.
sin θπ
(1) 若k＝4，θ＝，求x·y的值；
6
(2) 若x∥y，求实数k的最大值，并求取最大值时θ的值．
π
解：(1) 当k＝4，θ＝时，x＝(1，2－3)，y＝(－4，4)，
6
则x·y＝1×(－4)＋(2－3)×4＝4－43.
2
(2) 依题意，x＝(1，2－2cos θ)，y＝(－k，)．
sin θ2
因为x∥y，所以＝－k(2－2cos θ)，
sin θ1
整理，得＝sin θ(cos θ－1)．
222222
k令f(θ)＝sin θ(cos θ－1)，
则f′(θ)＝cos θ(cos θ－1)＋sin θ(－sin θ)
6
＝2cos2
θ－cos θ－1＝(2cos θ＋1)(cos θ－1)．
令f′(θ)＝0，得cos θ＝－1
2
或cos θ＝1.
又0<θ<π，故θ＝2π
3
.
列表如下：
θ (0，2π2π3) 3 (2π3，π) f′(θ) － 0 ＋ f(θ) 极小值－334 故当θ＝2π33433时，f(θ)min＝－4，此时实数k取最大值－9. 7