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高三理科数学小综合专题练习
——不等式
一、选择题
1．如果－1 1122B.< baabbaab1122 C.< 1122D.< 12 (a>2)，q＝2－a＋4a－2，则 a－2 A．p>q B．p 3.在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2) 2 4.已知二次函数f(x)＝ax－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为 A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(－1,0) D．(0,1) x－3y＋4≥0?? 5．已知约束条件?x＋2y－1≥0 ??3x＋y－8≤0 得最大值，则a的取值范围为 1 A．0 31C．a> 3 二、填空题 ，若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取 1B．a≥ 31 D．0 2 11 6.下列四个不等式：①a<0 ab条件有______． 7.点P(a,4)在不等式3x＋y－3>0表示的平面区域内且到直线x－2y＋2＝0的距离等于5，则点P的坐标为________． 3 8．已知0 4 x2＋24 9.给出下列四个命题：①2的最小值为2；②2－3x－的最大值为2－43；③logx10 xx＋1 42 ＋lg x的最小值为2；④sinx＋2的最小值为4，其中正确命题的序号是________． sinx2 10．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值 x－a为________． 三、解答题 2 11．已知函数f(x)＝ax＋x－a，a∈R. ． 17 (1)若函数f(x)有最大值，求实数a的值； 8 1 (2)解不等式f(x)>1(a≥0)． 2 12．设函数f(x)＝mx－mx－6＋m. (1)若对于m∈[－2,2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围． 13．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值； x＋5x＋2(2)设x>－1，求函数y＝的最值． x＋1 x－y＋2≥0，?? 14、已知?x＋y－4≥0， ??2x－y－5≤0， 求(1)z＝x＋2y－4的最大值； 22 (2)z＝x＋y－10y＋25的最小值； y＋1(3)z＝的范围． x＋1 15．西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1 1 年内，据测算年销售量S(万双)与广告费x(万元)之间的函数关系为S＝3－(x>0)．已知羊 x皮手套的固定投入为3万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元．(年销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费的50%) (1)试将羊皮手套的年利润L(万元)表示为年广告费x(万元)的函数； (2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？(年利润＝年销售收入－年广告费) 16.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 2 参考答案 一、选择题 1-5 A A B C C 二、填空题 453 6. ①②④ 7.(1,4)或(11,4) 8. 9. （1） 10. 162三、解答题 11、解析：(1)a≥0时不合题意， 121＋4a f(x)＝a(x＋)－， 2a4a 1＋4a17 当a<0时，f(x)有最大值，且－＝， 4a81 解得a＝－2或a＝－. 8(2)f(x)>1，即ax＋x－a>1， (x－1)(ax＋a＋1)>0， ①当a＝0时，解集为{x|x>1}； 11 ②当a>0时，(x－1)(x＋1＋)>0，解集为{x|x>1或x<－1－}． aa 2 12.解析：(1)f(x)＝m(x－x＋1)－6， 12322 令g(m)＝m(x－x＋1)－6，则由x－x＋1＝(x－)＋>0知函数g(m)在m∈[－2,2]上为增 24函数， 又因为f(x)<0恒成立，则g(2)<0， 2 即2(x－x＋1)－6<0， 解得－1 所以实数x的取值范围为(－1,2)． (2)当m＝0时，f(x)＝－6<0，对x∈[1,3]恒成立， ∴m＝0适合题意． 当m>0时，函数f(x)的图象开口向上，且对称轴为 1 x＝，则由f(x)<0可知， 2 只需f(3)<0，即9m－3m－6＋m <0， 6 解得0 当m<0时，对于x∈[1,3]，f(x)<0恒成立． 6 综上可知，所求实数m的取值范围为(－∞，)． 7 13.解析：(1)∵x>0，a>2x， 2 2 2 3 112x＋a－2x2a ∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×[]＝. 2228aa 当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为. 48(2)∵x>－1，∴x＋1>0. 设x＋1＝z>0，则x＝z－1. z＋4z＋1z＋5z＋4∴y＝＝ zz4 ＝z＋＋5 z≥2 4 z·＋5＝9 z 2 2 2 当且仅当z＝2即x＝1时上式取等号． ∴x＝1时，函数y有最小值9，无最大值． 14.解析：作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)． (1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0， 将C(7,9)代入得z最大值为21. 22 (2)z＝x＋(y－5)表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC |0－5＋2|292 的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|＝()＝. 22y＋1 (3)z＝表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－1)连线的斜率的变化范围．因为kQA x＋111 ＝2，kQB＝，故z的范围是[，2]． 22 15.解析：(1)由题意知，羊皮手套的年成本为(16S＋3)万元，年销售收入为(16S＋3)×150%1 ＋x·50%，年利润L＝(16S＋3)×150%＋x·50%－(16S＋3)－x，即L＝(16S＋3－x)，得L 2－x＋51x－16＝(x>0)． 2x 2 4 －x＋51x－1651x851 (2)由L＝＝－(＋)≤－2 2x22x2 2 x8x8 ·＝21.5.当且仅当＝，即x＝4时，2x2x L有最大值21.5，因此，当年广告费投入为4万元时，此公司的年利润最大，最大利润为 21.5万元． 16.解析：解法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足 x≥0，y≥0，??12x＋8y≥64，?6x＋6y≥42，??6x＋10y≥54 x≥0，y≥0， ??3x＋2y≥16，即?x＋y≥7，??3x＋5y≥27. z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是 zA＝2.5×9＋4×0＝22.5， zB＝2.5×4＋4×3＝22， zC＝2.5×2＋4×5＝25， zD＝2.5×0＋4×8＝32. 比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． 解法二 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足 ??12x＋8y≥64，?6x＋6y≥42，??6x＋10y≥54 x≥0，y≥0， ??3x＋2y≥16， 即?x＋y≥7，??3x＋5y≥27. x≥0，y≥0， 让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处 取得最小值． 因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． 5