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1994年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)limcot?(x?0x
11?)= _____________. sinxx
(2)曲面z?e?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.
x1?2u(3)设u?esin,则在点(2,)处的值为_____________.
y??x?y?xx2y2(4)设区域D为x?y?R,则??(2?2)dxdy=_____________.
abD222(5)已知α?[1,2,3],β?[1,,],设A?α?β,其中α?是α的转置,则A=_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设
??sinx43423422M??2?cosxdx,N?(sinx?cosx)dx,P?(xsinx?cosx)dx,则有 ?????1?x2??222?1123n(A)N?P?M (C)N?M?P
(B)M?P?N (D)P?M?N
(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)、fy?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的
(A)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件
(3)设常数??0,且级数(A)发散
?2n
? (B)必要条件而非充分条件
(D)既非充分条件又非必要条件
?a收敛,则级数?(?1)nn?1ann??2
n?1
2
(B)条件收敛 (D)收敛性与?有关
(C)绝对收敛 (4)limx?0atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x)
?2,其中a2?c2?0,则必有
(B)b??4d (D)a??4c
(A)b?4d (C)a?4c
(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
(B)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1
线性无关
(C)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
(D)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α1线性无关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
2dy?dy(1)设 ,求、在的值. t?t2122dxdx2y?tcos(t)??cosudu12ux?cos(t2)
(2)将函数f(x)? (3)求
11?x1ln?arctanx?x展开成x的幂级数. 41?x2dx?sin(2x)?2sinx.
四、(本题满分6分)
xdydz?z2dxdy计算曲面积分??,其中S是由曲面x2?y2?R2及222x?y?zSz?R,z??R(R?0)两平面所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设
f(x)具有二阶连续函数
,f(0)?0,f?(0)?1,且
[xy(x?y)?f(x)y]dx?[f?(x)?x2y]dy?0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通
解.
六、(本题满分8分)
设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limx?0?f(x)?0,证明级数x?n?11f()绝对收敛. n 七、（本题满分6分）
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积. 八、（本题满分8分）
设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 x1?x2?0x2?x4?0,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
九、（本题满分6分）
设A为n阶非零方阵,A是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A?A?时,证明
**A?0.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则
P(B)=____________.
(2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为
X 0 1 P 则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________.
十一、（本题满分6分）
1 21 2设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,3)和N(0,4),且X与Y的相关系数
22?xy??,设Z?
XY?, 32(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.
(2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?
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