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1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设曲线f(x)?xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(?n,0),则limf(?n)? . n??(2)
lnx?1?x2dx? .
(3) 差分方程2yt?1?10yt?5t?0的通解为 . ?100???**(4) 设矩阵A,B满足ABA?2BA?8E,其中A?0?20,E为单位矩阵,A为A????001??的伴随矩阵,则B? .
2(5) 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N0,2的简单随机样本,X?a?X1?2X2??
??2b?3X3?4X4?.则当a? ,b? 时,统计量X服从?2分布,
其自由度为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设周期函数f?x?在???,???内可导,周期为4.又limx?02f?1??f?1?x???1,则曲线
2xy?f?x?在点?5,f?5??处的切线的斜率为 ( )
1 (B) 0 (C) ?1 (D) ?2 21?x,讨论函数f?x?的间断点,其结论为 ( ) (2) 设函数f?x??limn??1?x2n(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点x?1 (C) 存在间断点x?0 (D) 存在间断点x??1
(A)
??x1?x2??2x3?0,?(3) 齐次线性方程组?x1??x2?x3?0,的系数矩阵记为A.若存在三阶矩阵B?0使得
?x?x??x?03?12AB?0,则 ( )
(A) ???2且|B|?0 (B) ???2且|B|?0
(C) ??1且|B|?0 (D) ??1且|B|?0 (4) 设n?n?3?阶矩阵
1
?1?a?A??a?????aa1a?aa?a?1??a?a?a??a?, ???1??若矩阵A的秩为n?1,则a必为 ( ) (A) 1 (B)
11 (C) ?1 (D) 1?nn?1(5) 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数.为使F?x??aF1(x)?bF2(x)
是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )
3222,b?? (B) a?,b? 55331313(C) a??,b? (D) a?,b??
2222(A) a?
三、(本题满分5分)
设z?(x?y)e22?arctanyx?2z,求dz与.
?x?y
四、(本题满分5分)
设D???x,y?x2?y2?x,求??xdxdy.
D?
五、(本题满分6分)
设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定t?0)就售出,总收入为R0(元).如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为R?R0e2t5.假定银行的年利率为r,并以连续
复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求r?0.06时的t值.
六、(本题满分6分)
设函数f(x)在?a,b?上连续,在(a,b)内可导,且f?(x)?0.试证存在?,??(a,b),使得
f?(?)eb?ea????e. f?(?)b?a七、(本题满分6分)
设有两条抛物线y?nx?2112和y?(n?1)x?,记它们交点的横坐标的绝对值为nn?1an.
2
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn； (2) 求级数
Sn的和. ?n?1an?
八、(本题满分7分)
设函数f(x)在[1,??)上连续.若由曲线y?f(x),直线x?1,x?t(t?1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为
V(t)??2?tf(t)?f(1)?. ??3x?2试求y?f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件y
九、(本题满分9分)
?2的解. 9设向量??(a1,a2,?,an)T,??(b1,b2,?,bn)T都是非零向量,且满足条件?T??0.记
n矩阵A???T.求：
(1) A；
(2) 矩阵A的特征值和特征向量.
十、(本题满分7分)
2?101?2设矩阵A??020?,矩阵B?(kE?A),其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵
????101???,使B与?相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.
十一、(本题满分10分)
一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
十二、(本题满分9分)
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p；
(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
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一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】
1 e【解析】曲线y?xn在点(1,1)处的切线斜率y?x?1?x式,切线方程为：
???nx?1?nxn?1x?1?n,根据点斜
y?1?n(x?1).
11,即在x轴上的截距为?n?1?, nn11?x?11limf(?n)?lim?nn?lim(1?)n?lim(1?)?????. n??n??n??x??nxelnx?C (2)【答案】?x
令y?0,代入y?1?n(x?1),则x?1?【解析】由分部积分公式,
lnx?1?1???1???lnx?1dxdx??lnx?1d???????? ??x2?x???x??分部??lnx?11lnx?11??d(lnx?1)????2dx xxxxlnx?1?1??lnx?11lnx??????dx????C???C.
xxxx?x?【相关知识点】分部积分公式：假定u?u(x)与v?v(x)均具有连续的导函数,则
?uv?dx?uv??u?vdx,或者?udv?uv??vdu.
(3)【答案】yt?C(?5)?t51(t?) 1265t,其齐次方程对应的特征方程及2【解析】首先把差分方程改写成标准形式yt?1?5yt?特征根分别为
r?5?0,r??5,
故齐次方程的通解为Yt?C(?5)t,C为常数.
将方程右边的
55t改写成t?1t,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为
22yt??At?B,
从而yt?1??A(t?1)?B,代入原方程,得
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