loading第二十一章 曲线积分与曲面积分 §1 第一型曲线积分与曲面积分
1. 对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。 解：第一型曲线积分的性质:
1?（线性性）设?f(x,y,z)ds,?g(x,y,z)ds存在，k1,k2是实常数，则
LL
??kL11f(x,y,z)?k2g(x,y,z)?ds存在，且
21L??kf(x,y,z)?kg(x,y,z)?ds?k?Lf(x,y,z)ds?k2?g(x,y,z)ds;
L2? ?1ds?l,其中l为曲线L的长度;
L3? (可加性)设L由L1与L2衔接而成，且L1与L2只有一个公共点，则?f(x,y,z)ds存在
L??L1f(x,y,z)ds与?f(x,y,z)ds均存在，且
L2?Lf(x,y,z)ds??f(x,y,z)ds+?f(x,y,z)ds;
L1L24? (单调性)若
L?Lf(x,y,z)ds与
L?Lg(x,y,z)ds均存在，且在L上的每一点p都有
f(p)?g(p),则?f(p)ds??g(p)ds;
5? 若?f(p)ds存在，则?f(p)ds亦存在，且
LL
?Lf(p)ds??Lf(p)ds
6? （中值定理）设L是光滑曲线，f(p)在L上连续，则存在p0?L，使得
?Lf(p)ds?f(p0)l, l是L的长度;
第一型曲面积分的性质: 设S是光滑曲面，
??f(p)ds,??g(p)ds均存在，则有
SSS1?（线性性）设k1,k2是实常数，则???k1f(p)?k2g(p)?ds存在, 且
???kf(p)?kg(p)?ds?k??f(p)ds?k??g(p)ds;
1212SSS2? ?1ds?s, 其中s为S的面积;
S3? (可加性)若S由S1,S2组成S?S1?S2，且S1,S2除边界外不相交，则??f(p)ds存在
S???f(p)ds与??f(p)ds均存在，且
S1S2
??f(p)ds=??f(p)ds+??f(p)ds
SS1S24? (单调性)若在S上的的每一点p均有f(p)?g(p),则
??f(p)ds???g(p)ds;
SS5?
??Sf(p)ds也存在，且
??f(p)ds???Sf(p)ds;
S6? （中值定理）若f(p)在S上连续，则存在p0?S,使得
??f(p)ds?f(pS0)s，其中s为S的面积。
2. 计算下列第一型曲线积分 (1)
?L(x2?y2)ds,其中L是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形;
解：L?L1?L2?L3
L1:x?0,0?y?1
L2:y?0,0?x?2 L3:y?1?所以
x,0?x?2 2L1?L(x2?y2)ds=?(x2?y2)ds?L2(x2?y2)ds2?L3(x2?y2)ds
??10ydy??xdx??02220?2??x??1????x??2?2?5dx ??2?? ?3?(2)
55 3?Lx2?y2ds,其中L是圆周x2?y2?ax; (a?0)
解：L的参数方程为: x?aaa?cos?;y?sin?,0???2? 222aaa22则 x'??sin?,y'?cos?,ds?x'?y'd??d?
222所以
?La2??aa2??a?22?1?cos?????sin??d??x?yds=?20?22???2?22?2?0cosd?
2?2?a2?????2 ???0cosd????cosd???2a
2?22?(3)
?Lxyzds,其中L为螺线x?acost,y?asint,z?bt(0?a?b), 0?t?2?;
解： x'??asint,y'?acost,z'?b
ds?x'2?y'2?z'2dt?a2?b2dt
所以
?Lxyzds??a2btcostsint?a2?b2dt
02222? ?aba?b ??(4)
?2?0a2ba2?b2tcostsintdt?2?2?0tsin2tdt
?2a2ba2?b2
?L(x2?y2?z2)ds,其中L与(3)相同;
解：
?(xL432?y?z)ds=a?b43232222??2?023?8?32?2a?btdt?a?b??2?a?3b??
??222?22(5)
?(xL?y)ds,其中L为摆线x?y?a;
3323解：L1的参数方程为: x?acost,y?asint,则 x'??3acostsint,y'?3asintcost ds?220?t??2
x'2?y'2dt?3asintcostdt, 由对称性
所以
?(xL43?y)ds=4?(x?y)ds
L1434343 ?3a(6)
73??20(1?cos2t)sin2tdt?4a.
273?Ly2ds,其中L为摆线的一拱, x?a(t?sint),y?a(1?cost),0?t?2?;
tdt 222?t256323所以?yds?2a?(1?cost)sindt?a
0L215 解： x'?a(1?cost),y'?asint,ds?2asin(7)
?Lxyds,其中L为球面x2?y2?z2?a2与平面x?y?z?0的交线;
解： 注意到L关于x,y,z的对称性, 有
?Lxyds??yzds??zxds
LL所以
?Lxyds?11(xy?yz?zx)ds?(x?y?z)2?(x2?y2?z2)ds ??3L6L??1a2222 ???(x?y?z)ds??6L613ds???a ?L3