loading人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法故原结论成立．
综合法：Q(3?7)2?(25)2?10?221?20?2(21?5)?0，?3?7?25．
25通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论． 反证法：假设3?7…从以上证法中，可知三种方法均可． 故选：D．
【点评】本题考查分析法、综合法、反证法的应用，考查分析与判定思维能力，属于中档题．
考点四 数学归纳法
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n=n0时命题成立；
（2）假设当n=k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n=k命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
7．利用数学归纳法证明不等式1?111????n?n?1(n?N*)的过程中，由n?k到n?k?1时，232?n不等式的左边增加的项数为( A．1
B．2k?1
)
C．2k
D．k
【分析】依题意，由n?k递推到n?k?1时，不等式左边?1?式的左边比较即可得到答案． 【解答】解：用数学归纳法证明1?边?1?????111????k?1与n?k时不等232?k?1111????n?n?1的过程中，假设n?k时不等式成立，左232?n1， k2?k111则当n?k?1时，左边?1?????k?1，
232?k?11123?由n?k递推到n?k?1时不等式左边增加了：
(2k?1?k?1)?2k?k?1?1?2k?1项，
故选：B．
111????，共
2k?k?12k?k?22k?1?k?1【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．
12?22?32???(?1)n?1n2?n(n?1)(n是正奇数）8．用数学归纳法证明等式：，假设n?k时等式成立，
则需证(
12)
B．n?k?1时等式成立，且k…3 D．n?k?2时等式成立，且k…3
A．n?k?1时等式成立，且k…1 C．n?k?2时等式成立，且k…1
【分析】根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步，假设n?k时，命题成立，在此基础上且
n是正奇数，应推证n?k?2时，命题也成立．
【解答】解：由于相邻的两个奇数相差2，根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步时，假设
n?k(k为正奇数）时，
人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法则需证明n?k?2时等式成立，且k…1． 故选：C．
【点评】本题考查用数学归纳法证明数学命题的两个步骤，注意相邻的两个奇数相差2，这是解题的易错点．
9．用数学归纳法证明不等式
1111?????(n?1,n?N*)的过程中，从n?k到n?k?1n?1n?2n?n2时左边需增加的代数式是( A．
)
C．
1 2k?2B．
11? 2k?12k?211? 2k?12k?2D．
1 2k?1【分析】求出当n?k时，左边的代数式，当n?k?1时，左边的代数式，相减可得结果．
111????， k?1k?2k?k11111?????? 当n?k?1时，左边的代数式为， k?2k?3k?k2k?12k?2【解答】解：当n?k时，左边的代数式为
故用n?k?1时左边的代数式减去n?k时左边的代数式的结果为：
11111????． 2k?12k?2k?12k?12k?2故选：B．
【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n?k到n?k?1项的变化．
课后综合巩固练习
10．设a?b?0，m?a?b，n?a?b，则m，n的大小关系是 m?n ． 【分析】由(a?b?b)2?a?2ab?b2?a?a，可得结论． 【解答】解：Qa?b?0，
(a?b?b)2?a?2ab?b2?a?a，
22故a?b?b?a， 即a?b?a?b， 即m?n， 故答案为：m?n
人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法【点评】本题考查的知识点是不等式的证明与不等关系的判断，难度中档． 11．（选修4?5:不等式选讲）
27． 已知正数a，b，c满足abc?1，求证：(a?2)(b?2)(c?2)…【分析】根据条件以及(a?2)(b?2)(c?2)?(a?1?1)(b?1?1)(c?1?1)，利用基本不等式，证得要证的不等式成立．
【解答】证明：由于正数a，b，c满足abc?1，
33ag33bg33c?273abc?27， 故有(a?2)(b?2)(c?2)?(a?1?1)(b?1?1)(c?1?1)…当且仅当a?b?c?1时 等号成立，
27成立． 故：(a?2)(b?2)(c?2)…【点评】本题主要考查用综合法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题．
0对于一切实数x恒成立，又?x0?R，使ax02?4x0?b?012．已知a?b，二次三项式ax?4x?b…a2?b2成立，则的最小值为 42 ．
a?ba2?b248?(a?)?【分析】由条件求得a?2，ab?4，由此把要求的式子化为，利用基本不等a?baa?4a2式即可求出答案．
0对于一切实数x恒成立， 【解答】解：Q已知a?b，二次三项式ax?4x?b…2?a?0，且△?16?4ab?0，?ab…4．
2再由?x0?R，ax0?4x0?b?0，可得△?0，
?16?4ab?0，
即ab?4，
?a?2，
Q1642(a?)?82a?b48aa???(a?)? 444a?baa?a?a?aaa22a2?48…2(a?)g?28?42，当且仅当a?2?6时取等号
4aa?aa2?b2故的最小值为42，
a?b人教版高中数学选修4-5讲义及题型归纳（提高）：证明不等式的方法故答案为：42．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用以及函数恒成立的问题，式子的变形是解题的难点和关键，属于中档题．
13．已知数列{an}中，a1?1，an?1?3an． 6?an（1）写出a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的结论． 【分析】（1）根据a1?1，an?1?（2）①当n?1时，由a1?1?3an，求出a2，a3，a4的值即可猜想{an}的通项公式； 6?an33*知猜想成立；②假设n?k(k?N)时，猜想成立，即ak?k，
2?12?1然后证明n?k?1时，猜想成立即可． 【解答】解：（1）a1?1，an?1?猜想an?33133an，?a2?，a3??，a1?，
593176?an3； 2n?13知猜想成立； 2?13 2k?1（2）用数学归纳法证明如下： ①当n?1时，由a1?1?*②假设n?k(k?N)时，猜想成立，即ak?93ak933?2?1???则ak?1? 6?ak6?36(2k?1)?32(2k?1)?12k?1?12k?1k?n?k?1时，猜想成立，
根据①②可知，猜想对一切正整数n都成立．
【点评】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式和数学归纳法，考出来逻辑推理能力和运算能力，属中档题．