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2020-2021 学年初三数学上册同步练习：正多边形和圆
1. 下列边长为a 的正多边形与边长为 a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )
(1)正三角形
(2)正五边形 (3)正六边形
(4)正八边形 C．(1)(3)
A．(1)(2)
B．(2)(3)
D．(1)(4)
【答案】B
, 据此解答即可. 【解析】【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为 360°
【详解】
60°90°解：①正三角形的每个内角是 60°，正方形的每个内角是 90°．∵3×＋2×＝360°，∴能镶嵌平面；
②正方形的每个内角是 90°，正五边形每个内角是 180°?360°÷5＝108°，90m＋108n＝360°，显然 n 取任何正整数时，m 不能得正整数，不能镶嵌平面；
③正方形的每个内角是 90°，正六边形的每个内角是 120 度．90m＋120n＝360°，m＝4? n ，显然n 取任
4
3
何正整数时，m 不能得正整数，不能镶嵌平面；
④正方形的每个内角是 90°135°，正八边形的每个内角为 180°?360°÷8＝135°，∵90°＋2×＝360°，∴能镶嵌平面． 故选：B．
【点评】本题主要考查的是图形的镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
a3：a4：a6 等2. 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作 a3 ， a4 ， a6 ， 则 于 （ ）
A．1： 2 ： 3
B．1：2：3 C．3：2：1
D． 3 ： 2 ：1
【答案】D
【解析】【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
【详解】
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解：设圆的半径是 r， 则多边形的半径是 r，
1，则内接正三角形的边长 a3=2rsin60°= 如图
3 r，
2，内接正方形的边长是a4=2rsin45°= 如图
2 r，
如图 3，正六边形的边长是a6=r，
∴半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比 a3：a4：a6= 3 ： 2 ：1．
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
3. 半径为 3cm，圆心角为 120°的扇形的面积为（ ）
D．3πcm2
【解析】【分析】扇形面积公式为：??????，代入求值即可．
360
2
A．6πcm2 【答案】D
B．5πcm2 C．4πcm2
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【详解】
利用面积公式可得
120??×9360
=3πcm2．
故选D．
【点评】本题主要考查了学生的扇形面积公式．
4. 如图， A 、B 、C 、D 为一个外角为40 的正多边形的顶点．若O 为正多边形的中心，则?OAD ? ．
【答案】30°
【解析】【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360 ，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数， 再根据正多边形的中心角的概念求出∠AOD 的度数，再由正多边形的半径OA=OD，根据等腰三角形的性质求解即可.
【详解】
多边形的每个外角相等，且其和为360 ，
360 据此可得多边形的边数为： ? 9 ，
40
360??
=120°∴∠AOD=3× ， 9
∵OA=OD，
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180? ?120??
=30°∴∠OAD=∠ODA= ，
2
. 故答案为：30°
【点评】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角、半径，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
5. 如图，两个同心圆的半径分别为 1 和 2， ?AOB ? 120? ，则阴影部分面积是
.
【答案】 π
【解析】【分析】阴影部分的面积=大扇形-小扇形，所以依面积公式计算即可．
【详解】
120? ??4 ?1??
=π． 阴影部分的面积=
360
【点评】根据扇形面积公式计算即可．
6. 同圆的内接正 n 边形与外切正 n 边形边长之比是
.
【答案】cos180
0
??
.
【解析】【分析】先根据题意画出图形，再设圆的半径为 R，由垂径定理及锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】
解：如图所示，设圆的半径为R，
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∵∠AOF=
360° 180°
= 2?? ??
∴AB=2AF=2Rsin
180°??
；
180°??
同理，∵∠DOF=
360° 2?? = ，
∴CD=2DE=2Rtg
180°??
，
180°?? 180°??
∴AB：CD=2Rsin
180°?? ：2Rtg＝cos．
同圆的内接正 n 边形与外切正 n 边形边长之比是 cos
180°
??
．
故答案为：cos
180°??
．
题的关键．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合是解答此
7. 如图，已知等腰△ ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ ABC 的外接圆．并计算
此外接圆的半径．
【答案】见解析
【解析】【分析】作出 AB，AC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点为半径画圆可得△ ABC 的外接圆；再根据垂径定理得出∠BAO=60°，得出△ ABO 为等边三角形， 从而求得外接圆的半径．